層・圏・トポス - 層

2017-11-12 (Sun.)

数学

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\[\def\O{\mathcal{O}}\]

前層 (preshaef)

二通りの定義を与える.

定義1

位相空間 \(X\)前層 とは、 集合 \(A\), 関数 \(E: A \rightarrow \O(X)\), 関数 \(\rceil: A \times \O(X) \rightarrow A\) からなる三組 \((A, E, \rceil)\) であって次のようなもの.

  1. 任意の \(a, b \in A\) に対して、\(a \rceil \emptyset = b \rceil \emptyset\)
  2. \(a \rceil Ea = a\) (\(\rceil\) の結合則は \(E\) の適用より弱い)
  3. \(E (a \rceil U) = E a \cap U\)
  4. \((a \rceil U) \rceil V = a \rceil (U \cap V)\)

関数の集合 \(A\), 関数の定義域を与える手続き \(E\), (広い意味での) 関数の定義域の制限 \(\rceil\).

明らかに前層とはこれを抽象化したものである

定義2

位相空間 \(X\)前層 とは、 \(X\) の開集合を適当な集合の集合 \(\mathcal{A}\) に写すような \[F : \O(X) \to \mathcal{A}\] 及び \(U,V \in \O(X)\) について \(U \subseteq V\) ならば \[r_{UV} : F(V) \to F(U)\] が定まっているようなもの. これらの \(\left(F, r = \{ r_{UV} : U, V \in \O(X) \}\right)\) を前層だという. ただし次を要請する.

  1. \(F(\emptyset)\) は単集合
  2. \(r_{UU}\) は恒等写像
  3. \(U \subseteq V \subseteq W\) のとき \(r_{UW} = r_{UV} \circ r_{VW}\)

これら2つの定義が等価であることを確認する.

定義1 \(\Rightarrow\) 定義2

前層が \((A,E,\rceil)\) で与えられた時、次で定義2を構成できる.

  1. \(F(U) = \{ f \in A : Ef = U \}\)
  2. \(r_{UV}(f) = f \rceil U\)

要請を満たすことを確認する.

  1. \(F(\emptyset) = \{ f : Ef = \emptyset \}\) は単集合か?
  2. \(r_{UU}\) は恒等写像か?
  3. \(r_{UW} = r_{UV} \circ r_{VW}\)

というわけでok.

定義2 \(\Rightarrow\) 定義1

逆に前層が \((F, r)\) で与えられたとき、 先ほどの全く逆によって構成できる.

  1. \(A = \bigcup_{U \in \O(X)} F(U)\)
  2. \(f \in F(U) \iff Ef = U\)
  3. \(f \rceil U = r_{VW}(f)\)
    • where \(V = U \cap W, W=Ef\)

要請を満たすことを確認する.

  1. \(a,b \in A\) について
  2. \(f \rceil (Ef) = r_{VW} f\)
  3. \(f \rceil U = r_{VW}(f) \in F(V)\)
  4. \((f \rceil U) \rceil V = f \rceil (U \cap V)\)

両立 (compatible)

前層 \(A\) の2つの元 \(f, g \in A\)両立 するとは、 \[f \rceil Eg = g \rceil Ef\] とあること.

関数集合の例でいうと、 定義域の交わる部分で関数の値が一致することを表す.

層 (sheaf)

やはり二通りの定義を与える.

定義1

\(X\) の上の前層 \(A\) が次を満たすとき、\(A\)\(X\) の上の と呼ぶ.

前に述べた関数の例は層である

定義2

定義1と同値な定義を与える.

位相空間 \(X\) に対して 位相空間 \(S\) と局所同相写像 \(p: S \to X\) があるとき、 \((S, p)\)\(X\) の上の という.

定義2 → 定義1

\(X\) 上の層 \((S,p)\) から \((A,E,\rceil)\) の形の層を次のようにして構成できる.

\(U \in \O(X)\) について \[\Gamma(U) = \{ f : f:U \to S, p \circ f = id \}\] として

  1. \(A = \bigcup \Gamma(U)\)
  2. \(Ef=U \iff f \in \Gamma(U)\)
  3. \(f \rceil V = f \lceil (V \cap Ef)\)

定義2 であっても前層でかつ定義1の層と一致することがわかる.