圏の定義

\[ \require{AMScd} \] \[ \def\Obj{\mathrm{Obj}} \def\Arr{\mathrm{Arr}} \def\dom{\mathrm{dom}} \def\cod{\mathrm{cod}} \def\C{\mathcal C} \]

次の要素が備わったものを圏という.

  • 対象の集まり \( Obj \)
  • 射の集まり \( Arr \)
    • 各射 \( f \in Arr \) にはドメインとコドメインがあり次のように書く
      • \( \dom f \in Obj \)
      • \( \cod f \in Obj \)
  • 射の合成演算 \( \circ \)
    • 2つの射 \( f, g \) について \( \cod f = \dom g \) のとき \( g \circ f \) という射が \( \Arr \) の中に存在する
      • すなわち \( \circ \) とは2つの射から一つの射を作る演算でこれを「合成」という
      • 数の積を表す \( \times \) や \( \cdot \) が略されるのと同様に, \( \circ \) のことも略して \( gf \) と書く

「集まり」と言ったのは本来, 圏の概念は集合とは独立して定義されるもので, 従って集合という概念を使いたくないから. とはいえ, 普通の集合のように「集まりに属する」ということを \( \in \) で表している.

ただし射について次を要請する.

  • 恒等射の存在
    • 各対象 \( A \in \Obj \) に対応して次のような射 \( 1_A \) がある
      • \( \dom 1_A = A \)
      • \( \cod 1_A = A \)
      • \( f 1_A = f \) (合成の単位元)
      • \( 1_A g = g \)
  • 合成の結合則
    • 3つの射 \( f,g,h \) の \( \cod, \dom \) がいい感じのとき, この3つを合成できるが, このとき \( (fg)h = f(gh) \) であること

圏の例

モノイドの圏

用語に惑わされずにただ合成演算だけに注目すれば, 圏とは群あるいはモノイドのことに見える. モノイドとは次のようなものであった.

モノイドとは集合 \( X \) に乗算演算 \( \circ \colon X \times X \to X \) を与えたもの. この演算は次を満たすことを要請する.

  1. 単位元の存在
    • ある \( e \in X \) があって
    • \( e \circ x = x \circ e = x \) (\( \forall x \in X \))
  2. 結合則
    • \( (f \circ g) \circ h = f \circ (g \circ h) \)

つまり数 \( x \in X \) が射であって, 単位元 \( e \) が恒等射. 乗算の結合則が合成の結合則である.

さて対象はというと, 恒等射に対応する単位元がモノイドは唯一しか持たないことから, ただ一つの対象を持つと考えるしかないだろう. 従ってモノイドという概念を拡張したものが圏である, という見方がありえる.

とにかくモノイド \( X \) があると, それを圏として見ることができる. これをモノイド圏 \( X \) という. 改めてその定義を述べると,

  • 対象は唯一 \( \Obj = \{ * \} \)
  • 射は数 \( \Arr = X \)(右辺 \( X \) はモノイドの台集合)
  • 恒等射は単位元 \( 1_* = e \) (\( e \) はモノイドの単位元)
  • 合成は乗算 \( x y = x \circ y \) (右辺はモノイドとしての乗算)

Set

この考えはしばしば初学者を混乱させるが, 射は写像(関数)の一般化であるという見方も出来る. そのような圏のことは Set という. すなわち,

  • 対象とは任意の集合
  • 射とは集合から集合への写像
    • \( \dom \) とは写像の定義域
    • \( \cod \) とは値域
  • 射の合成とは関数合成
  • 恒等射とは恒等写像

関数合成の結合性は自然に成立する. 関数 \( f \) が集合 \( A \) から集合 \( B \) への関数であることをしばしば \[ f \colon A \to B \] と書くだろう. これに倣って, ドメインを対象 \( A \) とし, コドメインを対象 \( B \) とするような射のことを 「\( A \) から \( B \) への射」と言って \[ f \colon A \to B \] と書く.