F-代数

\[ \require{AMScd} \] \[ \def\Obj{\mathrm{Obj}} \def\Arr{\mathrm{Arr}} \def\dom{\mathrm{dom}} \def\cod{\mathrm{cod}} \def\C{\mathcal C} \]

定義

圏 \( \C \) とその自己関手 \( F \colon \C \to \C \) について, \( F \)-代数とは, 対象 \( X \in \C \) と射 \( f \colon FX \to X \) の組 \[ (X, f) \] のこと. \[ \begin{CD} X @<f<< FX \end{CD} \] \( X \) をこの代数の台という.

\( F \)-始代数

圏 \( \C \) と自己関手 \( F \) について, \( F \)-代数の圏を考えることが出来る. すなわち対象は上のような \( (X, f) \) であり, 射は次のように定義されるもの.

\( \C \) の射 \( g \colon X_1 \to X_2 \) が \[ \begin{CD} X_1 @<f_1<< FX_1 \\ @VgVV @VFgVV \\ X_2 @<f_2<< FX_2 \end{CD} \]

これを可換にするとき, \( g \) を \( F \)-代数の圏の射 \[ g \colon (X_1, f_1) \to (X_2, f_2) \] とする.

このようにして作った圏のの始対象を始代数という. しばしば重要な概念がこれで表される.

Set 圏において \( FX = 1 + X (=\{*\} \cup X) \) の始代数は \( (\mathbb N, \nu) \). ここで \( \nu \colon 1+\mathbb N \to \mathbb N \) は

  • \( \nu(*) = 0 \)
  • \( \nu(m) = m + 1 \)

という写像.


出典

aiura/F-algebra