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A Better-Than-Greedy Approximation Algorithm for the Minimum Set Cover Problem

重み付き最小集合被覆問題

\(E = \{ e_1, e_2 .. e_N \}\) に対して、\(E\) の部分集合のコレクション \(F\) が与えられている (\(S \in F \iff S \subseteq E\)).

ただし \(\bigcup_{S \in F} S = E\) が保証されている.

また、\(S \in F\) にはコスト \(c_S\) が予め与えられる.

集合被覆問題とは、\(F\) の部分コレクション \(SOL\) であって \[\bigcup_{S \in SOL} S = E\] を満たすものを求める問題である.

重み付き最小-問題とは、 そのような \(SOL\) ので \[\min \sum_{S \in SOL} c_S\] を最小化するものを求める問題のこと.

また、 \(\forall S \in F .~ |S| \leq k\) のとき、 k-set cover problem と呼ぶ.

貪欲法

  1. 状態として、すでに被覆した部分\(C\) を持っておく.
  2. 初め \(C = \{\}\) とする.
  3. 答えを入れる \(SOL = \{\}\) を用意する.
  4. 次を、\(C = E\) になるまで繰り返す.
  5. \(SOL\) を得る

V.Chvatal: "A Greedy heuristic for the set-covering problem" はこの貪欲法の近似度を見積もっており、 k-set cover problem のとき、 \(H_k = 1 + 1/2 + .. + 1/k\) の近似度であるらしい.

提案手法: The greedy algorithm with withdrawals (GAWW)

貪欲の改良を行う. 毎ステップで、 Greedy stepWithdrawal step とを行う (withdrawal 引っ込めること,引っ込むこと,退くこと / 引き上げ,回収 / 取り消し,撤回).

  1. Given
    1. val \(E\)
    2. var \(F = \{ S_1, S_2 .. S_N \}\)
  2. Init
    1. val \(\alpha = 1 - 1/k^3\)
    2. var \(SOL = \{\}\)
    3. 被覆してない集合 \(U = E\)
    4. every \(S \in F\) について every \(S' \subseteq S\)\(F\) に追加する. コストを \(c_{S'} = c_S\) として、\(S'\) の選択を \(S\) の選択とあとから見做せば、問題に影響はない. ただし、\(S' \subseteq S_1 \land S' \subseteq S_2\) があるときは \(c_{S'}\)\(c_{S_1}\)\(c_{S_2}\) の小さい方を使う
    5. \(F = \{ S_1 .. S_N .. S_M \}\) を得る
  3. Iteration while \(U \ne \{\}\)
    1. \(r_j = \frac{c_j}{|S_j \cap U|}\)
    2. for every \(S_j \in SOL\) and every subcollection \(C \subseteq F\) of at most \(k\) subsets such that \(S_j \subseteq \bigcup_{S \in C} S\), let \(w(C) := | \bigcup_{S \in C} S \cap U|\) be the number of still uncoverd items that belong to the subsets in \(C\). If \(w(C) \ne 0\), let \(r(S_j, C) := (\sum_{i : S_i \in C} (c_i - c_j)) / w(C)\).
    3. \(r_j\) が最小である \(j'\) を選択する. \(r(S_j, C)\) を最小とする \(j'', C''\) を選択する.
    4. If \(\alpha r_j' \leq r(S_j'', C'')\) のとき
      • Greedy step: \(S_j'\) を選択する
        • \(U \leftarrow U \setminus S_j'\)
        • \(SOL \leftarrow SOL \cup S_j'\)
    5. Else
      • Withdrawal step: \(SOL\) から \(S_j''\) を引き払って \(C''\) を代わりに追加する
        • \(U \leftarrow U \setminus \bigcup_{S \in C''} S\)
        • \(SOL \leftarrow (SOL \setminus S_j'') \cup C''\)
  4. \(SOL\) を得る

このあと長々と解析が始まる.