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A Greedy Heuristic for Set-Covering Problem

better-than-greedy のついでに. 3ページだけなので.

k-set cover problem を所謂貪欲法で解いた場合の近似度の解析を行う.

問題

有限集合のコレクション \(P_1, P_2 .. P_N\) がある. 正のコストとして、\(P_i\) には \(c_i\) が与えられる.

\[I = \bigcup_{i=1..N} P_i = \bigcup_{i \in J} P_i\]

が満たされるようなインデックスの集合 \(J\) であって \[\min \sum_{i \in J} c_i\] となるようなものを探す.

\[k = \max |P_j|\] だとしておく (k-set cover problem).

直感的な貪欲法

\(|P_j| / c_j\) という比が大きいものほど良い.

  1. \(J = \{\}\)
  2. while \(\exists j .~ P_j \ne \{\}\)
    1. ある \(k\)\(\frac{|P_k|}{c_k}\) を最大となるとする
    2. \(J \leftarrow J \cup k\)
    3. \(P_j \leftarrow P_j \setminus P_k\)
  3. \(J\) が答え

Illustration

コレクション \(P_1 .. P_{m+1}\) が与えられるとする.

先の貪欲法では、 順に \(j = m, m-1, .. 1\) を選択して、 \(J = \{ 1 .. m\}\) を返す.
(何故ならば、\(r_j = j \geq 1 (1 \leq j \leq m), r_{m+1} = m/c_{m+1} < 1\) なので)

そしてこれのコストは \[H_m = \sum_{j=1}^m \frac{1}{j} > 1.\]

もちろん \(J=\{m+1\}\) もまた別な解であって、 このコストは \(c_{m+1} > 1\) である. こちらが最適解であることはあり得る.

この場合の近似度は \(H_m / c_{m+1} (< H_m)\) となる.

で、実は、 \(H_k\) で上限として抑えられるのである.

定理

貪欲法が返す被覆のコストは、最適解の高々 \(H(k)\) 倍である.

もっと強い事実を証明することで、証明を行う.

被覆関係を行列で表現する: \[A_{i, j} = \chi(i \in P_j)\] where \(\chi(true) = 1, \chi(false) = 0\)

\(i=1..m, j=1..n\)\(A\)\(m \times n\) 行列とする.

被覆とは、どの \(P_j\) を01で表現したベクトル \(x \in \{0,1\}^m\) である. 被覆できているとは \[A \cdot x \geq 1\]

被覆 \(x\) が示すコストは \(c \cdot x\) と表現できる (\(c = [ c_1 .. c_n ]\)).

主張

貪欲法が返す被覆 \(J\) について: \[\sum_{j=1}^m H(\sum_{i=1}^m A_{i,j}) c_j x_j \geq \sum_{J} c_j\] が成立する.

左辺はさらに左から \(H(k) \sum_j c_j x_j\) で抑えられ、 また、右辺の下限として最適解があって、 それは最初の定理となる. 従って、 この主張は定理よりも一つ強いものとなっている.

この主張を証明することで定理の証明とする.

非負数 \(y_1 .. y_m\) でもって次の2つが成り立つようなものが存在する.

存在を疑わなければ次のように主張が導かれる.

\[\sum_j H(\sum_i A_{i,j}) c_j x_j \geq \sum_j (\sum_i A_{i,j} y_i) x_j = \sum_i (\sum_j A_{i,j} x_j) y_i\] \[\geq \sum_i y_i = \sum_J c_i\]

そろそろ飽きたので.