圏の定義

C=(Obj(C),(ArrC(X,Y))X,YObj(C))

ただし次の4つが成り立つ

Remarks

圏は monoids の拡張である

前順序の圏 (Category of preordered sets)

前順序 (preorder) (X,) に就て

前順序は、反射と遷移が成る

これを圏で表現するものとして、次のようなものが自然である。

C(X,)

群の圏 (Category of Groups)

(M,eM,×M) と 群 (N,eN,×N)

このfは群同士の間の準同型になっている。 群を対象にし、 群同士の準同型を射とする圏を、 Grp という。

notation

XC と書いて XObj(C) を表す

C(X,Y) と書いて ArrC(X,Y) を表す

対象の積

対象 X,YC の積とは、 三つ組 (PC,π1:PX,π2:PY) のことである。

ただし、次を要請する。 任意の Z, f:ZX, g:ZY に対して、

これを可換 (commute) にさせるような、 h:ZP が、 唯一 C(Z,P) に存在することである。

函手 (Functor)

圏の間の射を函手という

F自体も圏であって、

(有向)グラフの圏

グラフ (E,V) は次のようにして圏で表現される。

このような圏 C から、グラフに写す写像は、函手である。

epi, mono

mono射 f:XY とは、 fg=fhg=h となるもの。

epi射 f とは、 gf=hfg=h となるもの。

集合の圏 に就て言えば、 (射とは函数のことであるが、) mono射とepi射 は、ちょうど、 単射と全射 に相当する。

分裂 (split epi, split mono)

split mono射とは、 左可逆な射のことをいう。

すなわち、射 f に対して, gf=id となる射 g が存在すること。

同様に、右可逆な射を split epi 射という。

容易に「split mono射はmono射である」ことは確認できて、

実際、 split mono射とmono射は同一である。 split epi射とepi射は同一である。

Lemma

mono射は同型写像である。

随伴 (Adjunctions)

例だけ示す。

次のような、

が考えられる。

γ はある種の、αの逆になっていて、 右側単位元である。 左側にはなっていない。

自然変換 (natural transform)

函手についてのhomonmorphismであるような写像のことである。

2つの函手 F,G:𝔻 に就いて, 自然変換 α:FG とは、 for each X に対して αX:FXGX のcomponentのことであって、 次のような "the naturality diagram" が書けることである。

vertical composition

垂直方向の、自然変換の合成

βα は、自然に導かれる。

horizontal composition

βα は図式で二通りあるけど、一致する。

極限と余極限 (Limits, colimits)

積の一般化を行う。

積とは、 平面上にある二点 X,Y に対して、 平面より一方にある点 P をつなぐ三角形 (三角錘; special cone) であって、 極限とは、 平面上に対してあるいくつかの点に対して、 平面より一方にある点 P をつなぐ便宜上、 三角錘 (universal cone) と呼ぶ図形のこと。

必要な概念を定義していく。

Def. 𝕀-shaped diagram

,𝕀 に就いて、 函手 𝔻:𝕀 のことを、 𝕀-shaped diagram と言う。

Def. Constant diagram

C,𝕀XC に就いて、

という、函手 ΔX のことを、 X についての、const diagram という。

註意すべきことは、

の二点である。

これは結局、 圏 𝕀 を、一点 X に移すだけの写像である。 一点を表現してるんだと思う。

例1

𝕀1

𝕀1-shaped diagram とは、函手 D のことであって、 圏C から、二点 DL,DR を選択するものに他ならない。

例2

𝕀2

𝕀2-shaped diagram とは、函手 D のことであって、 圏Cから、二点と、その二点をつなぐ、二つの射を選択するものである。

cone

これらを用いて cone を表現できる。

𝕀, と、 const diagram ΔX、 函手 D:𝕀 とに就いて, 次のような 自然変換 γ:ΔXD を要請し、 (X,γ) をconeと呼ぶ。

二点 DI,DJ に対して、頂点 X があり、 γI,γJ はちょうど、頂点から他の点に写す射影函数になってる。

limit

diagram D:JC について、 limitとは、對 (LC,λ:ΔLD) で表され、 universal であることが要請される。

すなわち、 任意のD の上の cone (XC,γ:ΔXD) に対して、 射 C(X,L) として唯一 k が存在する。 ただし、次を可換にすること。

先の三角形は次のようにも書ける。

cone の絵

積とは、 の極限である。

この積には結合則が成り立つ

等値核 (Equalizers)

の等値核とは、 (EC,e:EX) と表現されて、

また、 任意の (Z,ZX) に対して、 射k:ZE が唯一存在して、

これは一つ目の条件のために、

となって、これは結局 の極限に過ぎない。

上のeはmono射です

Example. Sets圏の等値核

要請 fe=ge より、 cod(e)={xX:fx=gx} である。

f,g が共立する台に写すのが等値核なのかな

Example. 前順序(Preorder)圏の等値核と積

等値核は大変自明で、

順序の積とは、minである。 なぜならば、

すなわち、

(x,y)=xminy とすればよい。

N.B.

極限は必ずしも存在しないことに註意

Prop.

C が、

とき、Cは、 任意の有限の圏𝕀の極限を持つ。

終対象とは、任意の対象から、それへの射が唯一存在するような対象のこと。 0-ary product と考えることができる。 productの単位元になってるみたい?確認せよ

Limits in Sets concretely

diagram D:𝕀𝕊ets の極限は次のように与えられる。

{(xI)I𝕀:xIDI,(Di)(xI)=xJfor each i:IJ}