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Sun Jan 15 22:09:19 JST 2017

Can't Stop の戦略

考えてみる.

ルール概要

出目の確率

サイコロを振る前に私が考えることと言えば

「4個サイコロを振って出目の2個の組み合わせ (和) で \(m\) が作れるか?」

ということである. すなわち、 すでに駒を置いた \(m\) のレーンがある場合には、 \(m\) を出しさえすればいいのである. そうすれば何度でもターンが続けられるので、それ以上の戦略は不要に思える.

4個のサイコロ中2個の和で \(m\) を作る確率を計算する.

# 出目のリスト dices から2つ選んで m を作れるか?
def make?(dices, m)
  dices.combination(2).any? { |a, b| a + b == m }
end

# m-th lane
(2..12).each do |m|
  count = 0
  # 4個のサイコロの出目を全列挙
  (1..6).to_a.repeated_permutation(4) do |a, b, c, d|
    count += 1 if make?([a, b, c, d], m)
  end
  pr = count.to_f / 6 / 6 / 6 / 6
  puts "#{sprintf("%2d", m)} => #{pr}"
end

結果

 2 => 0.13194444444444445
 3 => 0.2330246913580247
 4 => 0.35570987654320985
 5 => 0.44753086419753085
 6 => 0.5609567901234568
 7 => 0.6435185185185185
 8 => 0.5609567901234568
 9 => 0.44753086419753085
10 => 0.35570987654320985
11 => 0.2330246913580247
12 => 0.13194444444444445

大凡予想通りである.

  1. \(1 \leq m \leq 7\) では単調増加
  2. \(6,7,8\)-th レーンだけが \(50\) % を超える
  3. 雑な覚え方としては、端から \(10, 20, 30, 40, 50, 60, 50, \ldots\) %

\(6,7,8\)-th の3つのレーンに駒を置いている場合にバーストする確率は、

0.06871499254944341

すなわち、93%くらいでセーフ.

速度

\(m\)-th レーンを考える. 4つのサイコロを振って駒を進める 1 ステップ で \(m\)-th レーン上の駒を平均でどれだけ進められるだろうか? これを 速度 と呼ぶことにする. ただし初めにスタートに駒を置くという行為も1マス進めると見なして良いのはいいでしょう.

N.B. 先ほどの確率は4つの出目の内の2つの和で \(m\) を作れるか? しか考慮してないのでここでは使わない. 今は残り2つの和でも進めるところまで考慮する. すなわち、 \(m\) と \(m\) を作れるなら2マス進めることが出来るから.

速度を計算するプログラムは次の通り.

# 出目のリスト dices から2つ選んで n を作れるか?
def make?(dices, n)
  dices.combination(2).any? { |a, b| a + b == n }
end

# m-th lane
(2..12).each do |m|
  count = 0
  # 4個のサイコロの出目を全列挙
  (1..6).to_a.repeated_permutation(4) do |a, b, c, d|
    sum = [a, b, c, d].inject :+
    if make?([a, b, c, d], m)
      if sum == m + m
        count += 2
      else
        count +=1
      end
    end
  end
  average = count.to_f / 6 / 6 / 6 / 6
  puts "speed(#{sprintf("%2d", m)}) = #{average}"
end

結果

speed( 2) = 0.13271604938271606
speed( 3) = 0.2376543209876543
speed( 4) = 0.3703703703703704
speed( 5) = 0.4753086419753086
speed( 6) = 0.6080246913580247
speed( 7) = 0.7129629629629629
speed( 8) = 0.6080246913580247
speed( 9) = 0.4753086419753086
speed(10) = 0.3703703703703704
speed(11) = 0.2376543209876543
speed(12) = 0.13271604938271606
  1. 先ほどの確率と一見似てるがちょい大きくて \(m=7\) に近づくほど大きくなる具合が大きい
  2. \(1 \leq m \leq 7\) では単調増加

速度と、レーンの長さが分かっているので、\(m\)-th レーンについて、平均で何ステップの試行がゴールに必要かが分かる.

結果

steps( 2) = 22.604651162790695
steps( 3) = 21.03896103896104
steps( 4) = 18.9
steps( 5) = 18.935064935064936
steps( 6) = 18.091370558375633
steps( 7) = 18.233766233766236
steps( 8) = 18.091370558375633
steps( 9) = 18.935064935064936
steps(10) = 18.9
steps(11) = 21.03896103896104
steps(12) = 22.604651162790695