๐Ÿ”™ Back to Top

Tue Mar 20 2018

่ฟ‘ๅ‚ใซใ‚ˆใฃใฆไฝ็›ธใ‚’ๅ…ฅใ‚Œใ‚‹

\(\def\O{\mathcal{O}}\def\R{\mathbb{R}}\) ใ“ใ“ใงใฏใ€Œ้›†ๅˆ \(X\) ใซไฝ็›ธใ‚’ๅ…ฅใ‚Œใ‚‹ใ€ใจใฏใใฎ้–‹้›†ๅˆ็ณป \(\mathcal{O}(X)\) ใ‚’ๅฎšใ‚ใ‚‹ใ“ใจใ ใจใ™ใ‚‹. ใใ—ใฆใ€ ๆ—ขใซไฝ็›ธใŒๅ…ฅใฃใŸ็ฉบ้–“ใงใ‚ใ‚‹ \(X\) ใฎ็‚น \(x\) ใฎ่ฟ‘ๅ‚ใจใฏ้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใฃใฆ \(x\) ใ‚’ๅซใ‚€้›†ๅˆใ€ใคใพใ‚Š \[x \in U_x \in \mathcal{O}(X)\] ใชใ‚‹ \(U_x\) ใฎ๏ผ‘ใคใฎใ“ใจใงใ‚ใ‚‹.

้€†ใซใ€้›†ๅˆ \(X\) ใจใใฎๅ„็‚น \(x\) ใซๅฏพใ—ใฆ่ฟ‘ๅ‚ \(U_x\) ใ‚’ๅฎšใ‚ใŸๆ™‚ใ€่‡ช็„ถใซไฝ็›ธใ‚’ๅ…ฅใ‚Œใ‚‹ใ“ใจใŒใงใใ‚‹.

ใจใ„ใ†ใฎใ‚’ไปŠๆ—ฅ็ŸฅใฃใŸใฎใงใƒกใƒข.

้–‹้›†ๅˆใฎๆ€ง่ณชใจใ—ใฆๆฌกใฎใ‚ˆใ†ใชใ‚‚ใฎใŒใ‚ใ‚‹.

\(U\) ใŒ้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹ใจใใ€ใพใŸใใฎใจใใซ้™ใ‚Šใ€ไปปๆ„ใฎ็‚น \(x \in U\) ใซใคใ„ใฆใใฎ่ฟ‘ๅ‚ \(V_x\) ใŒใ‚ใฃใฆใ€ \[\forall x, \exists V_x, x \in V_x \subseteq U.\]

ใ“ใ‚Œใ‚’ๅˆฉ็”จใ™ใ‚‹.

่ฟ‘ๅ‚ใ‹ใ‚‰้–‹้›†ๅˆ็ณปใ‚’ๅฎš็พฉใ™ใ‚‹.

้›†ๅˆ \(X\) ใจใใฎๅ„็‚น \(x\) ใซๅฏพใ—ใฆ่ฟ‘ๅ‚ \(U_x\) ใŒๅฎšใพใฃใฆใ„ใ‚‹ใจใ™ใ‚‹. ใ“ใฎใจใใ€ๆฌกใซใ‚ˆใฃใฆ้–‹้›†ๅˆ็ณปใ‚’ๅฎšใ‚ใ‚‹.

\(U\) ใŒ้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹ ใจใฏ ๆฌกใŒๆˆ็ซ‹ใ™ใ‚‹ใ“ใจ: \[\forall x, \exists V_x, x \in V_x \subseteq U.\] ใ“ใ“ใง \(V_x\) ใฏ \(x\) ใฎ่ฟ‘ๅ‚.

ใŸใ ใ—ใ€ใ“ใ‚ŒใŒ็ขบใ‹ใซ้–‹้›†ๅˆ็ณปใงใ‚ใ‚‹ใ“ใจใ‚’็ขบ่ชใ™ใ‚‹ใซใฏใ€้–‹้›†ๅˆ็ณปใฎๅ…ฌ็†ใ‚’็ขบ่ชใ™ใ‚‹ๅฟ…่ฆใŒใ‚ใ‚‹. ใใ—ใฆใ€ใใ‚Œใฏใใ‚‚ใใ‚‚่ฟ‘ๅ‚ใŒ้ฉๅˆ‡ใชใ‚‚ใฎใงใ‚ใ‚‹ๅฟ…่ฆใŒใ‚ใ‚‹.

้–‹้›†ๅˆ็ณปใฎๅ…ฌ็†ใฏๆฌกใฎใ‚ˆใ†ใชใ‚‚ใฎใงใ‚ใฃใŸ.

  1. \(\emptyset, X \in \O(X)\)
  2. \(U_1,U_2 \in \O(X) \implies U_1 \cap U_2 \in \O(X)\)
  3. \(\forall i , U_i \in \O(X) \implies \bigcup_i U_i \in \O(X)\)

้–‹้›†ๅˆ็ณปใฎๅ…ฌ็†ใฎ1ใค็›ฎ

1ใคใ‚ใฏ่‡ชๆ˜Žใซๆˆใ‚Š็ซ‹ใค. \(U=\emptyset\) ใฎใจใใ€\(x \in U\) ใชใ‚‹็‚นใŒใชใ„ใฎใง้–‹้›†ๅˆใจใ—ใฆใฎๆกไปถใŒ่‡ช็„ถใซๆˆ็ซ‹ใ™ใ‚‹. ๅพ“ใฃใฆ \(\emptyset\) ใฏ้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹. \(U=X\) ใฎใจใใ€ไปปๆ„ใฎ็‚น \(x\) ใซๅฏพใ—ใฆใใฎ่ฟ‘ๅ‚ \(U_x\) ใฏใ‚ใ‚‹ใ“ใจใซใชใฃใฆใ„ใ‚‹ใฎใงใ€\(U_x \subset X\) ใ‚ˆใ‚Šใ€\(X\) ใ‚‚ใ‚„ใฏใ‚Š้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹.

่ฟ‘ๅ‚ใฏ้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹

็‚น \(x\) ใซๅฏพใ—ใฆไปปๆ„ใฎ่ฟ‘ๅ‚ \(U_x\) ใ‚’ๅ–ใฃใฆใใ‚‹. \(U_x\) ่‡ชไฝ“ใ‚‚้–‹้›†ๅˆใจใ—ใฆใฎๆกไปถใ‚’ๆบ€ใŸใ—ใฆใ„ใ‚‹ (\(x \in U_x \subseteq U_x\)) ใฎใงใ€\(U_x\) ใ‚‚้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹. ๅพ“ใฃใฆ่ฟ‘ๅ‚็ณปใฏ้–‹้›†ๅˆ็ณปใฎ้ƒจๅˆ†ใงใ‚ใ‚‹.

ไพ‹. ใƒฆใƒผใ‚ฏใƒชใƒƒใƒ‰็ฉบ้–“

\(X=\R^n\) ใฎๅ ดๅˆใ€้–‹็ƒใŒ่ฟ‘ๅ‚ใฎไพ‹. \[B_r^x = \{ y \in \R^n : \|x-y\|^2 < r^2\}\] ใŸใ ใ— \(r\) ใฏไปปๆ„ใฎๆญฃๆ•ฐ.

ใ“ใ‚Œใ‚’่ฟ‘ๅ‚ใจใ™ใ‚‹ใ“ใจใง้–‹้›†ๅˆ็ณป \(\O(\R^n)\) ใ‚’ๅฎšใ‚ใ‚‹.

1ใค็›ฎใฏ่‡ชๅ‹•็š„ใซๆˆใ‚Š็ซ‹ใคใฎใงใ€ๅ…ฌ็†ใฎ2ใค็›ฎใ‚’ใƒใ‚งใƒƒใ‚ฏใ™ใ‚‹.

\(U_1, U_2\) ใŒ้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹ใจใ™ใ‚‹. \(U_1 \cap U_2\) ใ‚’่€ƒใˆใ‚‹. ใ“ใ‚ŒใŒ็ฉบ้›†ๅˆใจใ™ใ‚‹ใจ่‡ชๆ˜Žใซ้–‹้›†ๅˆใชใฎใงใ€็ฉบ้›†ๅˆใงใชใ„ใจใใ‚’่€ƒใˆใ‚‹. ็ฉบใงใชใ„ใฎใงๅฐ‘ใชใใจใ‚‚1็‚น \(x\) ใ‚’ๅซใ‚€. \(x \in U_1\) ใชใฎใงใ€ใ‚ใ‚‹่ฟ‘ๅ‚ \(B_r^x\) ใŒใ‚ใฃใฆใ€ \[x \in B_r^x \subset U_1\] ใŒๆˆใ‚Š็ซ‹ใค. ๅŒๆง˜ใซ \(U_2\) ใซใคใ„ใฆใ‚‚ใ‚ใ‚‹่ฟ‘ๅ‚ใŒใ‚ใฃใฆ \[x \in B_{r'}^x \subset U_2\] ใ‚’ๆบ€ใŸใ™. \(r'\) ใฏๅ…ˆใปใฉใฎ \(r\) ใจไธ€่‡ดใ™ใ‚‹ใจใฏ้™ใ‚‰ใชใ„.

ใ“ใฎ2ๅผใฎ \(\cap\) ใ‚’ๅ–ใฃใฆใฟใ‚‹ใจ \[x \in B_r^x \cap B_{r'}^x \subset U_1 \cap U_2\] ใŒ่จ€ใˆใ‚‹. ใ•ใฆใ€ \(B_r^x, B_{r'}^x\) ใฏใฉใกใ‚‰ใ‚‚็‚น \(x\) ใ‚’ๅŒๅฟƒใจใ™ใ‚‹็ƒใชใฎใงใ€ใใฎ็ฉใฏ็ฐกๅ˜ใซใ€\(q = \min{r,r'}\) ใจใ—ใฆ \[B_r^x \cap B_{r'}^x = B_q^x\] ใงใ‚ใ‚‹. ๅพ“ใฃใฆใ€ \[x \in B_q^x \subset U_1 \cap U_2\] ใ“ใฎๅผใฏใ€\(U_1 \cap U_2\) ใซใคใ„ใฆใ‚‚ใ€ใ‚„ใฏใ‚Š่ฟ‘ๅ‚ \(B_q^x\) ใŒๅœจใฃใฆ้–‹้›†ๅˆใฎๆกไปถใ‚’ๆบ€ใŸใ™ใ“ใจใ‚’่จ€ใฃใฆใ„ใ‚‹. ใจใ„ใ†ใ‚ใ‘ใง \(U_1 \cap U_2\) ใ‚‚้–‹้›†ๅˆใงใ‚ใ‚‹.

ๅคง้›‘ๆŠŠใซ่จ€ใˆใฐใ€ ไปŠ่ฆ‹ใŸใ‚ˆใ†ใซใ€่ฟ‘ๅ‚ใจ่ฟ‘ๅ‚ใฎ็ฉบใงใชใ„็ฉใŒใ€ๅฐšใ‚‚่ฟ‘ๅ‚ใฎๅฝขใ‚’ไฟใฃใฆใ„ใ‚Œใฐใ€่ฟ‘ๅ‚ใจใ—ใฆ่‰ฏใ„็‰ฉใงใ€ใใ‚Œใฏ้–‹้›†ๅˆ็ณปใ‚’่ช˜ๅฐŽใ™ใ‚‹ใ‚‚ใฎใงใ‚ใ‚‹.

ๆฌกใซๅ…ฌ็†ใฎ3ใค็›ฎใ‚’ใƒใ‚งใƒƒใ‚ฏใ™ใ‚‹.

\(U_i\) ใŒ้–‹้›†ๅˆใ ใจใ™ใ‚‹. \(\bigcup_i U_i\) ใ‚’่€ƒใˆใ‚‹. ใ‚„ใฏใ‚Š็ฉบใงใชใใ€\(x \in \bigcup U_i\) ใจใ™ใ‚‹. \(\exists i, x \in U_i\) ใŒ่จ€ใˆใ‚‹. \(U_i\) ใฏ้–‹้›†ๅˆใชใฎใงใ€ใ‚ใ‚‹่ฟ‘ๅ‚ใŒใ‚ใฃใฆ \[x \in B_r^x \subseteq U_i.\] \(U_i \subseteq \bigcup U_i\) ใชใฎใง \[x \in B_r^x \subseteq \bigcup_i U_i.\] ใจใ„ใ†ใ‚ใ‘ใง \(\bigcup_i U_i\) ใ‚‚้–‹้›†ๅˆ.