それはそう.
ここで出てくる圏はすべて、小さな圏 (出てくるものは全部、集合として表現できる) とする.
関手として定義するのが一般的である. 具体的には次のように定義される.
位相空間 \(X\) の上の前層とは次を満たす \((F, r)\) のこと.
ただし次を要請する:
まさにこれは関手になっている. つまり、、、
位相空間 \(X\) を次のように圏と見做すことができる. 対象を \(X\) の開集合全てとする. \(U \subseteq V\) のとき、射 \(U \to V\) を張ることにする (包含写像, natural injection). 特に射 \(U \to U\) が恒等射に対応する. 従って \(\mathrm{Hom}(U,V)\) はたかだか 1 つしか射を持たない (痩せた圏, thin category).
そして、\((F,r)\) は、射 \(U \to V\) を \(r_{UV}: F(V) \to F(U)\) に写すもので、恒等射や合成についても関手としての要請を確かに満たしている (というか定義そのもの). ただし向きが逆になってるので 反変 である. というわけで、前層とは圏 \(X\) を圏 \(Sets\) (対象が集合すべて) に写す反変関手である. 或いは \(X^{op}\) (双対圏) から \(Sets\) への関手.
\(F\) が位相空間 \(X\) の上の前層であるとは, \(X\) を開集合の包含関係によって成す圏と見た時, \[F : X^{op} \to Sets\] なる関手であること.
モノイド \(M\) があって、これの集合 \(X\) への作用とはつまり、次のような二項演算子 \(@\) が \(M,X\) に対して定まっているということ: \[@ : X \times M \to X\] \[(x, m) \mapsto x@m\] 普通は \(@\) じゃなくて単に掛け算のように \(x\cdot m\) とか \(m\) 自体が関数であるかのように \(m(x)\) (これは左作用だけか?) などと書くけど、試しに大げさな記号を使ってみる.
ただし次の要請する.
上で定義した前層は、位相空間 \(X\) が成す圏の上に与えられていたが、位相空間であることを忘れて、単に圏 \(C\) の上に与えるものと定義し直すことにする.
\(F\) が圏 \(C\) の上の前層であるとは、\(C^{op}\) から \(Sets\) への関手であること
ところで、モノイド \(M\) は対象がただ１つの圏と見做すことが出来る:
ここで射はモノイドの元に対応している (\(m \in M \iff m : M \to M\)) (そして同一視する). 特に単位元が恒等射に対応している. そしてモノイドの演算がそのまま射の合成になっている.
今この圏 \(M\) の上に前層 \(F\) が与えられたとする. \(M\) の対象は唯ひとつ (\(M\) と書く) しかなく、これはある集合 \(A = FM\) に写される. \(M\) の射 \(m \in M\) は \(Sets\) における射、つまり写像 \(Fm : A \to A\) に写されるが、これは作用にほかならない. つまり、 \[a@m := (Fm)(a)\] として \(@\) が \(F\) によって与えられる.
単位元 \(e \in M\) は圏 \(M\) において恒等射なので \[a@e = (Fe)(a) = id(a) = a\] となって確かに単位元として作用している.
\(m,n \in M\) について、 \(F\) は \(M^{op}\) からの関手 (或いは反変) であることに注意すると、 \[\begin{align*} (a@m)@n & = (Fm)(a)@n \\ & = (Fn)((Fm)(a)) \\ & = (Fn \circ Fm)(a) \\ & = (F(m\circ n)) a ~~~\leftarrow\text{反変!} \\ & = a @ (m\circ n) \end{align*}\] と、準同型も満たしてることが分かる.
前層を定義・改のように一般化するモチベーションが分からない. 特に、元の定義だと痩せた圏の上にしか与えられないのに.
別に不自然な一般化じゃないという気がした. 圏論的には全てを圏で記述するのがモチベーションなので、元々の定義は「前層とは痩せた圏からSets圏への関手のこと」と言えて、この中で特別な要請である「痩せた」という修飾を消してみたり別のバリエーションに変えてみたりするのは自然だと思った. まあ、改めて一般化したものを尚も「前層」と呼ぶのはどうかと思うが、位相空間の上の前層については、元々のものから何も変わらない自然な拡張なので問題もないだろうし.