超準解析

2017-02-12 (Sun.)

超準解析とは何か?

1960年に Abraham Robinson が作った nonstandard analysis は無限の数を扱うなんか計算モデル？ standard analysis (epsilon-delta) の上位互換として作られる.

定義

以下を満たす \(U\) を集合 \(J\) 上のフィルタ (filter) と呼ぶ.

1. \(U \subseteq 2^J\)
2. \(\emptyset \not\in U\)
3. \(\forall A, B \in U, A \cap B \in U\) (intersection property)
4. \(\forall A \in U, \forall B (A \subseteq B), B \in U\)

以下の \(U\) を \(J\) 上の超ウィルタ (ultrafilter) と呼ぶ.

1. \(U\) は \(J\) 上のフィルタ
2. \(\forall A \in J\) について次のどちらかちょうど一つが成立 (maximality)
   1. \(\{A\} \in U\)
   2. \(J \setminus \{A\} \in U\)

以下の \(U\) を \(J\) 上の自由超フィルタ (free-ultrafilter) と呼ぶ.

1. \(U\) は \(J\) 上の超フィルタ
2. \(\nexists A \in U, |A| < \infty\) (freeness)

諸定理

定理

\(A\) 上の超フィルタ \(U\) 及び \(A\) の有限個への分割 \(A_1, \ldots, A_n\) について \[\exists! i, A_i \in U\] が成立する.

証明

まず、\(\exists i, A_i \in U\) を背理法によって示す.

\(\forall i, A_i \not\in U\) を仮定すると maximality 故に \(\forall i, A \setminus A_i \in U\). 更に intersection property から \(\emptyset = \bigcap_i (A \setminus A_i) \in U\). これは \(U\) の超フィルタの定義に反する.

従って \(\exists i, A_i \in U\) は成立する.

異なる \(i = i_1, i_2\) についてこれが成立するとき、同様に \(\emptyset = \cap_{i=i_1, i_2} A_i \in U\) となるので、そのような \(i_1, i_2\) は存在しない.

以上から唯一の \(i\) で成立する.

定理

\(A\) 上のフィルタ \(F'\) から超フィルタ \(F\) を導くことができる. \(\Phi\) を \(A\) 上のフィルタ全てからなる集合とする (\(F' \in \Phi\)).

\(\Phi\) の元に関して包含関係によって半順序を附けることができる. その最大限が欲しかった超フィルタ \(F\) である.

証明

(略)

定義

2つの \(n\) 次元実ベクトル \(a, b\) 、実数に関する二項演算 \(\circ\) に関して、 \(\{ i : 1 \leq i \leq n, a_i \circ b_i \}\) を \[[\![ a \circ b ]\!]\] と書くことにする. 例えば \([\![ a = b ]\!]\) は、成分の値が等しいインデックスの集合.

超フィルタの法の下の等号性 (Equivalence Modulo an Ultrafilter)

超フィルタ \(U\) 及び2つの \(n\) 次元実ベクトル \(a, b\) について \[a = b \mod{U} \iff [\![ a=b ]\!] \in U\]

超フィルタの法の下の順序

\[a \leq b \mod{U} \iff [\![ a \leq b ]\!] \in U\]

この順序は全順序である.

例

• \(\mathbb{a} = (0, 1, 0, 1, \ldots)\)
• \(\mathbb{b} = (1, 0, 1, 0, \ldots)\)
• \(\mathbb{0} = (0, 0, 0, 0, \ldots)\)
• \(\mathbb{1} = (1, 1, 1, 1, \ldots)\)

について

• \(\mathbb{a} \ne \mathbb{b} \mod{U}\)
• \(\mathbb{a} = 0 \mod{U}\) または \(\mathbb{a} = 1 \mod{U}\)
• \(\mathbb{b} = 0 \mod{U}\) または \(\mathbb{b} = 1 \mod{U}\)

が \(U\) によって成立する. 例えば \(\{0,2,4,\ldots\} \in U\) なる超フィルタが作れる.

Ultrapower

ある超フィルタ \(U\) を法とする等号によって \(n\) 次元実ベクトル空間 \(R^n\) の同値類を取った空間を 超実空間 (hyperreal) と呼び \({}^*R\) と書く. 次のように加算と乗算を定めることで体になる.

• \(\mathbb{a} + \mathbb{b} = (a_1, a_2, \ldots) + (b_1, b_2, \ldots) = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots)\)
• \(\mathbb{a} * \mathbb{b} = (a_1, a_2, \ldots) * (b_1, b_2, \ldots) = (a_1 * b_1, a_2 * b_2, \ldots)\)

成り立ってほしい性質はだいたい成り立つ.

• \(a_1=a_2 \land b_1=b_2 \mod U\)
• \(\iff [\![ a_1=a_2 ]\!] \in U \land [\![ b_1=b_2 ]\!] \in U\)
• \(\implies [\![ a_1=a_2 ]\!] \cap [\![ b_1=b_2 ]\!] \in U\)
• \(\iff [\![ a_1=a_2 \land b_1=b_2 ]\!] \in U\)
• \(\iff [\![ a_1+b_1=a_2+b_2 ]\!] \in U\)
• \(\iff a_1 + b_1 = a_2 + b_2 \mod U\)

加算に関する単位元

• \(a + zero = a \mod U\)
• \(\iff [\![a + zero = a]\!] \in U \iff [\![zero=0]\!] \in U\)
• \(\iff zero = 0 \mod U\)

同様に乗算に関する単位元

• \(a * one = a \mod U\)
• \(\iff one = 1 \mod U\)

\(U\) の法の下で、それぞれ単位元は唯一に存在する.

逆元

• \(a = (-a_1, -a_2, \ldots)\)
• \(\implies a + (-a) = 0 \mod U\)

とすることで \(+\) に関する \(a\) の逆元 \((-a)\) を構成することができる. 唯一の存在であることも確認できる. 2つの逆元 \(m, n\) があるとする.

• \(a + m = 0 \mod U\)
• \(a + n = 0 \mod U\)

このとき

• \(a + m + n = 0 + n = n \mod U\)
• \(a + m + n = 0 + m = m \mod U\)

ということで自明に \(m = n \mod U\). というわけで \(U\) の法の下で逆元は唯一.

乗算に関してもだいたい実数と同じ.

無限小、無限大

自然数の列の集合を \({}^*N\) と書く. \(a \in {}^*R\) と \(n \in {}^*N\) との大小を超フィルタ \(U\) の下で定める.

1. \(\forall n \in {}^*N, a \leq n\) を満たす \(a\) を無限小と呼ぶ.
2. \(\forall n \in {}^*N, a \geq n\) を満たす \(a\) を無限大と呼ぶ.