2026-01-06 (Tue.)
適当に定めた区間 \([a, b]\) の上で定められた実関数の系列
\[\left( \phi_0(t), \phi_1(t), \phi_2(t), \ldots \right)\]を基底とする空間を考える. この空間に属する実関数 \(f(t)\) は次のように表される.
\[f(t) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \phi_n(t)\]ここで \(a_n\) は実係数.
さらに 直交基底 であるとは, 次の直交性条件を満たすとする.
\[i \ne j \iff \int_{a}^{b} \phi_i(t) \phi_j(t) dt = 0\]この積分のことを \((\phi_i, \phi_j)\) と書いて 内積 と呼ぶ.
\[(\phi_i, \phi_j) := \int_{a}^{b} \phi_i(t) \phi_j(t) dt\]このような場合 \(f(t)\) の係数 \(a_n\) は次で与えられる.
\[\int_a^b f(t) \phi_n(t) dt = \int_a^b \left( \sum_{m=0}^{\infty} a_m \phi_m(t) \right) \phi_n(t) dt = \sum_{m=0}^{\infty} a_m \int_a^b \phi_m(t) \phi_n(t) dt = a_n \int_a^b \phi_n(t)^2 dt\]従って
\[a_n = \frac{(f, \phi_n)}{(\phi_n, \phi_n)}\]区間 \([-\pi, \pi]\) で
\[\left( 1, \cos t, \sin t, \cos 2t, \sin 2t, \cos 3t, \sin 3t, \ldots \right)\]は直交系である. これを基底とする関数空間を考える.
周期 \(2\pi\) の実関数 \(f(t)\) は次で表される.
\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos (nt) + b_n \sin (nt) \right)\]これを フーリエ級数展開 と呼ぶ.
計算のしやすさのために定数項だけ \(\frac{a_0}{2}\) としている.
係数 \(a_n, b_n\) は関数の直交性から次で与えられる.
ただし収束条件がある.
Dirichlet 条件
の周期関数のフーリエ級数展開を求める.
したがって
\[\begin{align*} f(t) & = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{2}{(2k+1)\pi} \sin((2k+1)t) \\ & = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sin(\pi) + \frac{2}{3\pi} \sin(3\pi) + \frac{2}{5\pi} \sin(5\pi) + \cdots \\ \end{align*}\]がフーリエ級数展開として得られる.
以下は \(k\) を有限に打ち切った場合に \(f\) に近づく様子を示すグラフである.
フーリエ級数展開は不連続点の近傍で振動を伴いながら収束する. これを ギブス現象 と呼ぶ. 有限項で打ち切った場合, 不連続点での関数値から約 \(9\%\) 大きい値を取る ( ギブズ現象 - Wikipedia ).
ここから \(i\) とは虚数単位を表すものとする.
オイラーの公式
\[e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta\]を用いると
\[\cos (nt) = \frac{e^{int} + e^{-int}}{2}\] \[\sin (nt) = \frac{e^{int} - e^{-int}}{2i}\]これをフーリエ級数展開に代入すると
\[f(t) = \frac{a_0}{2} e^{0} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{a_n - ib_n}{2} e^{int} + \frac{a_n + ib_n}{2} e^{-int} \right)\]これらの係数を複素係数 \(c_n\) と名前を付け替えることで
\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{int}\]と簡潔に表せる. \(n\) の範囲が負及び \(0\) まで拡張されたことに注意. これを 複素フーリエ級数展開 と呼ぶ.
これは \(\left( 1, e^{it}, e^{-it}, e^{2it}, e^{-2it}, e^{3it}, e^{-3it}, \ldots \right)\) を基底とする関数空間と思えるが, 直交性は 満たしていない . 代わりに次の性質がある.
\[j = -k \iff (e^{ijt}, e^{ikt}) = \int_{-\pi}^{\pi} e^{ijt} e^{-ikt} dt = 2\pi\] \[j \ne -k \iff (e^{ijt}, e^{ikt}) = \int_{-\pi}^{\pi} e^{ijt} e^{-ikt} dt = 0\]したがって \(c_n\) を求めたかったら \(e^{-int}\) と内積を取ればよい.
\[c_n = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt\]周期の区間 \([\pi, \pi]\) を \([-L, L]\) に拡張するのは容易で \(t\) 軸を \(L / \pi\) 倍すればよい.
\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \pi t / L}\] \[c_n = \frac{1}{2L} \int_{-L}^{L} f(t) e^{-i n \pi t / L} dt\]ここで \(L \to \infty\) という極限を考えることで, 周期関数ではない関数も表したい. 非周期関数とは区間 \((-\infty, \infty)\) で定義された周期関数のことと言えるから.
まず（大きな） \(L\) に対して \(\omega_n = n \pi / L\) とおくと, \(\Delta \omega = \pi / L\) であるから
\[\begin{align*} f(t) & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i \omega_n t} \\ & = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \Delta \omega \frac{e^{i \omega_n t}}{\Delta \omega} \\ & = \frac{1}{2\pi} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \left( \int_{-L}^{L} f(\tau) e^{-i \omega_n \tau} d\tau \right) e^{i \omega_n t} \Delta \omega \end{align*}\]極限 \(L \to \infty\) を取ると, 右辺はリーマン和の形になるから積分に変わる.
\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i \omega \tau} d\tau \right) e^{i \omega t} d\omega\]そこで積分の中身を持ってきて
\[\hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i \omega \tau} d\tau\]と定義する. この \(f\) から \(\hat{f}\) への変換を フーリエ変換 と呼ぶ. \(\F\) と書いて \(\hat{f} = \F(f)\) と言うことにする. この実数 \(\omega\) は角周波数と呼ばれる.
そして
\[f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\omega) e^{i \omega t} d\omega\]を 逆フーリエ変換 と呼ぶ. \(\F^{-1}\) と書いて \(f = \F^{-1}(\hat{f})\) と言うことにする.
ちなみに係数のつき方には流儀があるようで, 例えばフーリエ変換にも逆フーリエ変換にも \(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\) をつける方法もあり, そうするとフーリエ変換と逆フーリエ変換の形が対称になるので, そちらの方が好まれる場合もある.
\(f\) は実関数 \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) であるが, \(\hat{f}\) は複素関数 \(\mathbb{R} \to \mathbb{C}\) になることに注意.
\[\begin{CD} \mathbb{R}^{\mathbb R} @>\F>> \mathbb{C}^{\mathbb R} \\ @. @. \\ \mathbb{R}^{\mathbb R} @<\F^{-1}<< \mathbb{C}^{\mathbb R} \\ \end{CD}\]実関数 \(f(t)\) の導関数を \(f'(t)\) と書く.
\[\F(f') = \int_{-\infty}^{\infty} f'(t) e^{-i \omega t} dt\]を部分積分することで
\[\begin{align*} \F(f') & = \left[ f(t) e^{-i \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} - (-i \omega) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt \\ \end{align*}\]ここで \(\lim_{t \to \pm \infty} f(t) = 0\) と仮定すると, 境界項は \(0\) になるから
\[\F(f') = i \omega \F(f)\]を得る.
\[ \require{amscd} \begin{CD} \mathbb{R}^{\mathbb R} @>\F>> \mathbb{C}^{\mathbb C} \\ @V{d/dt}VV @Vi\omega VV \\ \mathbb{R}^{\mathbb R} @>\F>> \mathbb{C}^{\mathbb C} \\ \end{CD} \]実関数の微分とはフーリエ変換の世界では \(i \omega\) 倍すること.
2つの実関数 \(f(t), g(t)\) に対して, この2つの関数の 畳み込み を次で定める.
\[(f \ast g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau\]これのフーリエ変換は次のようになる.
\[\begin{align*} \F(f \ast g) & = \int_{-\infty}^{\infty} \left( \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau \right) e^{-i \omega t} dt \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(t - \tau) e^{-i \omega t} dt \right) d\tau \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \left( \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i \omega (u + \tau)} du \right) d\tau \quad (u = t - \tau) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) e^{-i \omega \tau} d\tau \int_{-\infty}^{\infty} g(u) e^{-i \omega u} du \\ & = \F(f) \cdot \F(g) \\ \end{align*}\]というわけで
\[ \require{amscd} \begin{CD} \mathbb{R}^{\mathbb R} \times \mathbb{R}^{\mathbb R} @>\F>> \mathbb{C}^{\mathbb C} \times \mathbb{C}^{\mathbb C} \\ @V{(\ast)}VV @V(\cdot) VV \\ \mathbb{R}^{\mathbb R} @>\F>> \mathbb{C}^{\mathbb C} \\ \end{CD} \]を得た.
フーリエ変換は \((-\infty, \infty)\) で絶対可積分でないと扱えなかった. 特に無限大に発散する関数は扱えない. そこで \(e^{-st}\) という減衰因子を導入することで, 任意の有限区間で可積分であれば扱えるようにしたのが ラプラス変換 である.
Wikipedia 情報なんだけど, 工学的な手法としての発展は 1899 年にオリヴィエ・ヘヴィサイドがフーリエ変換を基にしてヘヴィサイドの演算子法を導入した. ただし後から, （フーリエ変換よりも前に）ラプラスによって類似の変換が導入されていたことが指摘され, ラプラス変換の名前で理論が整理された.
フーリエ変換は
\[\F(f) = \hat{f}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i \omega t} dt\]であった. ここで \(\omega\) は実数であったが, ここを一般化して複素数 \(s = \sigma + i \omega\) で置き換えた
\[F(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\]これが （両側）ラプラス変換 である. （片側）ラプラス変換 では定義域を \((0, \infty)\) に制限する.
\[F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\]むしろフーリエ変換とはラプラス変換の特別な場合だったのだと見なせる.
ラプラス変換の操作を \(\L\) と書いて \(F = \L(f)\) と言うことにする.
また, \(F\) から \(f\) を復元する操作を 逆ラプラス変換 と呼び, \(\L^{-1}\) と書いて \(f = \L^{-1}(F)\) と言うことにする.
有限区間で可積分な \((0, \infty)\) 上の実関数 \(f\) について \(F(s) = \L(f)\) は, ある \(c\) があって
\[\mathrm{Re}(s) \gt c \implies F(s) \text{は定まる}\]という収束領域を持つ. 従ってある適当な \(s_0\) で実際に \(F(s_0)\) が定まったなら,
\[\mathrm{Re}(s) \geq \mathrm{Re}(s_0) \implies F(s) \text{は定まる}\]と言える.
\(f(t) = a\) ( \(a\) は実定数) の場合を考える.
\[F(s) = \int_{0}^{\infty} a e^{-st} dt = a \left[ \frac{e^{-st}}{-s} \right]_{0}^{\infty}\]もし \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) ならば, \(\lim_{t \to \infty} e^{-st} = 0\) であるから
\[F(s) = \frac{a}{s} \quad (\mathrm{Re}(s) \gt 0)\]\(f(t) = e^{a t}\) ( \(a\) は実定数) の場合を考える.
\[F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{a t} e^{-s t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(s - a) t} dt = \left[ \frac{e^{-(s - a) t}}{-(s - a)} \right]_{0}^{\infty}\]もし \(\mathrm{Re}(s) \gt a\) ならば, \(\lim_{t \to \infty} e^{-(s - a) t} = 0\) であるから
\[F(s) = \frac{1}{s - a} \quad (\mathrm{Re}(s) \gt a)\]\(f\) が微分可能で \(\lim_{t \to \infty} f(t) e^{-s t} = 0\) と仮定する.
\[\begin{align*} \L(f') &= \int_{0}^{\infty} f'(t) e^{-s t} dt \\ &= \left[ f(t) e^{-s t} \right]_{0}^{\infty} + s \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-s t} dt \\ &= s \L(f) - f(0) \\ \end{align*}\]さらに \(\lim{t \to \infty} f'(t) e^{-s t} = 0\) と仮定すれば,
\[\L(f'') = s^2 \L(f) - s f(0) - f'(0)\]一般の \(n\) 次導関数についても同様にして
\[\L(f^{(n)}) = s^n \L(f) - s^{n-1} f(0) - s^{n-2} f'(0) - \cdots - f^{(n-1)}(0)\]2つの実関数 \(f(t), g(t)\) に対して, 次が畳み込みであった.
\[(f \ast g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) d\tau\]これのラプラス変換は次のようになる.
\[\begin{align*} \L(f \ast g) &= \int_{0}^{\infty} \left( \int_{0}^{t} f(\tau) g(t - \tau) d\tau \right) e^{-s t} dt \\ &= \int_{0}^{\infty} f(\tau) \left( \int_{\tau}^{\infty} g(t - \tau) e^{-s t} dt \right) d\tau \\ &= \int_{0}^{\infty} f(\tau) \left( \int_{0}^{\infty} g(u) e^{-s (u + \tau)} du \right) d\tau \quad (u = t - \tau) \\ &= \int_{0}^{\infty} f(\tau) e^{-s \tau} d\tau \int_{0}^{\infty} g(u) e^{-s u} du \\ &= \L(f) \cdot \L(g) \\ \end{align*}\]フーリエ変換と同様の結果を得た.
線形性
ラプラス変換は線形変換である.
\[\L(af + bg) = a \L(f) + b \L(g)\]スケーリング則
\(f(t)\) のラプラス変換を \(F(s) = \L(f)\) とする. すると, 任意の実数 \(a \gt 0\) に対して
\[\L(f(at)) = \frac{1}{a} F\left( \frac{s}{a} \right)\]時間シフト則
\(F(s)=\L(f)\) とする. 任意の実数 \(a \gt 0\) に対して
\[\L(f(t-a)) = e^{-a s} F(s) \quad (a \geq 0)\]周波数シフト則
\(F(s)=\L(f)\) とする. 任意の実数 \(a\) に対して
\[\L\left( e^{a t} f(t) \right) = F(s - a)\]これは \(a\) の正負を問わない.
積分則
\[\L\left( \int_0^t f(\tau) d\tau \right) = \frac{1}{s} F(s)\]| \(f(t)\) | \(F(s) = \L(f)\) | 収束領域 |
|---|---|---|
| \(1\) | \(\frac{1}{s}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) |
| \(t\) | \(\frac{1}{s^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) |
| \(\delta(t)\) | \(1\) | 全複素平面 |
| \(t^n\) ( \(n\) は非負整数) | \(\frac{n!}{s^{n+1}}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) |
| \(e^{a t}\) | \(\frac{1}{s - a}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt a\) |
| \(\sin (a t)\) | \(\frac{a}{s^2 + a^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) |
| \(\cos (a t)\) | \(\frac{s}{s^2 + a^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt 0\) |
| \(\sinh (a t)\) | \(\frac{a}{s^2 - a^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt |a|\) |
| \(\cosh (a t)\) | \(\frac{s}{s^2 - a^2}\) | \(\mathrm{Re}(s) \gt |a|\) |
| \(t f(t)\) | \(- \frac{d}{ds} F(s)\) | 同左 |
ここで \(u(t - a)\) は単位ステップ関数, \(\delta(t - a)\) はデルタ関数を表す.
逆フーリエ変換は上に列挙した性質にしたがって 因数分解 をし, そして上に書いた基本的なラプラス変換表を 逆にたどる ことで求められる.
\[\begin{align*} L^{-1}\left( \frac{1}{s^2 + 25} \right) &= L^{-1}\left( \frac{1}{5} \frac{5}{s^2 + (5)^2} \right) \\ &= \frac{1}{5} L^{-1}\left( \frac{5}{s^2 + (5)^2} \right) \\ &= \frac{1}{5} \sin(5 t) \\ \end{align*}\] \[\begin{align*} L^{-1}\left( \frac{5}{s(s^2 + 25)} \right) &= L^{-1}\left( \frac{1}{s} \cdot \frac{5}{s^2 + (5)^2} \right) \\ &= 1 \ast \sin(5 t) & \text{ 畳み込み} \\ &= \int_0^t \sin(5 \tau) d\tau \\ &= \frac{1}{5} (1 - \cos(5 t)) \\ \end{align*}\]ラプラス変換の微分則を用いることで, 常微分方程式を代数方程式に変換して解くことができる.
例: 二階線形常微分方程式（減衰・増大）
\[x=f(t)\] \[x'' + ax' + bx = 0\]両辺にラプラス変換を施す.
\[\begin{align*} & \L(x'') + a \L(x') + b \L(x) = 0 \\ \implies & s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) + a (s F(s) - f(0)) + b F(s) = 0 \\ \implies & \left( s^2 + a s + b \right) F(s) - (s + a) f(0) - f'(0) = 0 \\ \implies & F(s) = \frac{(s + a) f(0) + f'(0)}{s^2 + a s + b} \\ \end{align*}\]ここで初期条件として \(f(0) = 0, f'(0) = 1\) とする.
\[F(s) = \frac{1}{s^2 + a s + b}\]さらにここで \(s^2 + as + b\) という二次方程式が実数の範囲で解けて \((s - \alpha) (s - \beta)\) と因数分解できるとする.
\[F(s) = \frac{1}{s-\alpha} \cdot \frac{1}{s - \beta}\]逆ラプラス変換を施す.
\[\begin{align*} f(t) &= \L^{-1}(F(s)) \\ &= \L^{-1}\left( \frac{1}{s-\alpha} \cdot \frac{1}{s - \beta} \right) \\ &= \L^{-1}\left( \frac{1}{s-\alpha} \right) \ast \L^{-1}\left( \frac{1}{s - \beta} \right) \\ &= e^{\alpha t} \ast e^{\beta t} \\ &= \int_0^t e^{\alpha \tau} e^{\beta (t - \tau)} d\tau \\ &= \int_0^t e^{\beta t} e^{(\alpha - \beta) \tau} d\tau \\ \end{align*}\]ここで場合分けが発生する. \(\alpha = \beta\) の場合,
\[\begin{align*} f(t) &= \int_0^t e^{\beta t} d\tau \\ &= t e^{\beta t} \\ \end{align*}\]\(\alpha \ne \beta\) の場合,
\[\begin{align*} f(t) &= e^{\beta t} \left[ \frac{e^{(\alpha - \beta) \tau}}{\alpha - \beta} \right]_0^t \\ &= \frac{e^{\alpha t} - e^{\beta t}}{\alpha - \beta} \\ \end{align*}\]例: 二階線形常微分方程式（振動）
やはり
\[x=f(t)\] \[x'' + ax' + bx = 0\]で, 初期条件として \(f(0) = 0, f'(0) = 1\) とする.
\(s^2 + as + b\) という二次方程式の判別式が負である場合, すなわち実数の範囲で解けない場合を考える. 一旦平方完成して
\[s^2 + as + b = \left(s + \frac{a}{2} \right)^2 + \left(b - \frac{a^2}{4} \right)\]ここで \(\alpha = a/2, \omega = \sqrt{b - a^2/4}\) とおく. 判別式が負なことから \(\alpha, \omega\) はともに実数で \(\omega \ne 0\) である.
\[\begin{align*} f(t) &= \L^{-1}(F(s)) \\ &= \L^{-1}\left( \frac{1}{(s + \alpha)^2 + \omega^2} \right) \\ &= \L^{-1}\left( \frac{1}{\omega} \frac{\omega}{(s + \alpha)^2 + \omega^2} \right) \\ &= \frac{1}{\omega} e^{-\alpha t} \sin(\omega t) \\ \end{align*}\]