モノイダル圏, モノイド対象

2020-08-26 (Wed.)

圏論

\(\require{amscd}\)

index

モノイダル圏

圏 \(C\) について, 次のような双関手 \(\otimes\) 及び対象 \(I\) があるとする:

  1. \(\forall (X, Y) \in C \times C,~ X \otimes Y \in C\)
  2. \(\exists I \in C,~ \forall X \in C,~ I \otimes X \simeq X \otimes I \simeq X\)

このときこの \((\otimes, I)\) を以てして, \(C\) はモノイダル圏であるという.

例. Set と直積

圏 Set において \(X \otimes Y = X \times Y\) , \(I = \{\ast\} ~(=1)\) とすればこれはモノイダル圏.

例. 自己関手圏と合成

圏 \(C\) があるときに \(C\) から \(C\) への関手だけを集めたものは圏になる. これを関手圏 \(C^C\) という. この圏における射は自然合成.

\(F,G \in C^C\) は \(C\) から \(C\) への関手なので自由に合成できて,

\[F \otimes G := FG\]

と定めればこれはモノイダル圏. ここで恒等関手 \(1_C\) が \(I\) として働く.

\[F \otimes 1 = F = 1 \otimes F\]

モノイド対象

モノイダル圏 \(C\) があるときに, 次のような \((M, \mu, \eta)\) があるとする:

次の二つが成り立つことを要請する:

  1. 結合則
\[\begin{CD} M^3 @>1 \otimes \mu>> M^2 \\ @V\mu \otimes 1VV @V\mu VV \\ M^2 @>\mu>> M \\ \end{CD}\]
  1. 単位元
\[\begin{CD} 1 \otimes M @>\eta \otimes 1>> M \times M @<1 \otimes \eta << M \otimes 1 \\ @| @V\mu VV @| \\ M @= M @= M \\ \end{CD}\]

以上を満たす \((M, \mu, \eta)\) 或いは単に \(M\) のことを モノイド対象 という.

例. Set と直積

このモノイド対象を モノイド という. \(a, b \in M\) に対して \(\mu(a, b)\) を積 \(ab\) などと呼んだ.

例. 自己関手圏と合成

このモノイド対象を モナド という. 例えば 冪集合モナド なんかは Set から Set への自己関手圏におけるモナドの一つになっている.