モノイダル圏, モノイド対象

2020-08-26 (Wed.)

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モノイダル圏

圏 \(C\) について, 次のような双関手 \(\otimes\) 及び対象 \(I\) があるとする:

1. \(\forall (X, Y) \in C \times C,~ X \otimes Y \in C\)
2. \(\exists I \in C,~ \forall X \in C,~ I \otimes X \simeq X \otimes I \simeq X\)

このときこの \((\otimes, I)\) を以てして, \(C\) はモノイダル圏であるという.

例. Set と直積

圏 Set において \(X \otimes Y = X \times Y\), \(I = \{\ast\} ~(=1)\) とすればこれはモノイダル圏.

例. 自己関手圏と合成

圏 \(C\) があるときに \(C\) から \(C\) への関手だけを集めたものは圏になる. これを関手圏 \(C^C\) という. この圏における射は自然合成.

\(F,G \in C^C\) は \(C\) から \(C\) への関手なので自由に合成できて, \[F \otimes G := FG\] と定めればこれはモノイダル圏. ここで恒等関手 \(1_C\) が \(I\) として働く. \[F \otimes 1 = F = 1 \otimes F\]

モノイド対象

モノイダル圏 \(C\) があるときに, 次のような \((M, \mu, \eta)\) があるとする:

• 対象 \(M \in C\)
• 射 \(\mu \colon M \otimes M \to M\)
  • "乗算" と呼ぶ
• 射 \(\eta \colon I \to M\)
  • "単位" と呼ぶ

次の二つが成り立つことを要請する:

1. 結合則

\[\begin{CD} M^3 @>1 \otimes \mu>> M^2 \\ @V\mu \otimes 1VV @V\mu VV \\ M^2 @>\mu>> M \\ \end{CD}\]

2. 単位元

\[\begin{CD} 1 \otimes M @>\eta \otimes 1>> M \times M @<1 \otimes \eta << M \otimes 1 \\ @| @V\mu VV @| \\ M @= M @= M \\ \end{CD}\]

以上を満たす \((M, \mu, \eta)\) 或いは単に \(M\) のことを モノイド対象 という.

例. Set と直積

このモノイド対象を モノイド という. \(a, b \in M\) に対して \(\mu(a, b)\) を積 \(ab\) などと呼んだ.

例. 自己関手圏と合成

このモノイド対象を モナド という. 例えば 冪集合モナド なんかは Set から Set への自己関手圏におけるモナドの一つになっている.