2019-02-11 (Mon.)
\(\def\C{\mathscr{C}}\) \(\def\transpose#1{\overline{#1}}\) \(\def\Sets\{\mathcal{Set}}\)
対象の冪（冪対象）を定義し eval 射との関係を見る.
随伴を使って冪の定義をする.
圏 \(\C\) とその対象 \(A \in \C\) があるとき, \[T \colon \C \to \C\] \[T(X) = X \times A\] なる関手を左随伴にするような関手 \(P^A\) があるとする. \[\C(X \times A, Y) \simeq \C(X, P^A(Y))\]
ところで関手 \(T\) について引数部分をプレースホルダー ("\(-\)") で置き換えることで, 単に \((- \times A)\) と書いたりする. また \(P^A(Y)\) のことを \(Y^A\) と書くことにすれば, 関手 \(P^A\) は \(Y \mapsto Y^A\) という形を取るから, \((-)^A\) と書いても良さそう. \[(- \times A) \dashv (-)^A\]
以上のとき, \(P^A(B) = B^A\) のことを 冪対象 という.
今, 冪 \((-)^A\) があるとする. すなわち次の自然同型がある. \[\C(X \times A, Y) \simeq \C(X, Y^A)\] これはつまり, 左右は射の集合なわけだが, この2つには一対一の対応があることを言っている. その対応を上付き線で表すことにする. 例えば左から取ってきた射 \(f\) に対応する右での射を \(\transpose{f}\) と書く. 右から取ってきた射 \(g\) に対応する左での射を \(\transpose{g}\) と書く. 一対一対応であることから \(\transpose{\transpose{f}} = f\) である. \(\transpose{f}\) のことを \(f\) の transpose と呼ぶ.
今までの \(X\) に \(Y^A\) を代入することで, \[\C(Y^A \times A, Y) \simeq \C(Y^A, Y^A)\] を得る. このとき, 右辺は自分自身への射集合なので, 恒等射 \(1\) を含む. この対応を取って, \[\def\eval{\mathrm{eval}}\eval \colon Y^A \times A \to Y\] \[\eval = \transpose{1}\] と定義する.
ところで \((-)^A\) がどのような関手であるかを見ておく. というのも射の写し方をまだ見ていなかったが, これは随伴性から自然に導かれる.
\(g \colon Y \to Z\) を写して得られる射 \(g^A \colon Y^A \to Z^A\) がどのようなもの（であるべき）かは次の可換図式からわかる.
\(\require{AMScd}\) \[\begin{CD} \C(Y^A \times A, Y) @>{\mathrm{transpose}}>> \C(Y^A, Y^A) \\ @V(g \circ -)VV @VV(g^A \circ -)V \\ \C(Y^A \times A, Z) @>{\mathrm{transpose}}>> \C(Y^A, Z^A) \end{CD}\]
ここで左上から \(\eval \in \C(Y^A \times A, Y)\) を選んで, 右下への写し方を見ると, \[g^A \circ \transpose{\eval} = \transpose{g \circ \eval}\] \(\transpose{\eval}\) は \(1\) だったから結局, \[g^A = \transpose{g \circ \eval}\] と写すことが導かれる.
\(\eval \colon Y^A \times A \to Y\) は次のような普遍性を持っている. すなわち, \[\forall f \colon X \times A \to Y ,~ \exists ! f' \colon X \to Y^A,\] \[\begin{CD} X \times A @= X \times A \\ @Vf' \times 1VV @VfVV \\ Y^A \times A @>\eval>> Y \end{CD}\]
もちろん, この \(f'\) は \(\transpose{f}\) のことである.
\(f \colon X \times A \to Y\) と \(\transpose{f} \colon X \to Y^A\) について随伴性より次の可換図が成り立つ: \[\begin{CD} \C(Y^A, Y^A) @>{\mathrm{transpose}}>> \C(Y^A \times A, Y) \\ @V(- \circ \transpose{f})VV @V(- \circ (\transpose{f} \times 1))VV \\ \C(X, Y^A) @>{\mathrm{transpose}}>> \C(X \times A, Y) \end{CD}\] この図式の左上から恒等射 \(1\) を取ってきて, これで可換を回すと, \[\transpose{\transpose{f}} = \eval \circ (\transpose{f} \times 1)\] を得る. ここで左辺の二重の transpose は打ち消し可能なので, \[f = \eval \circ (\transpose{f} \times 1)\] となる.
というわけで \(f' = \transpose{f}\) とすれば最初の普遍性の図式が可換になることがわかる. またこのような射が一意であることも随伴性から明らかである. 念の為に書くと, 他の \(f'\) についても成立すると仮定したときに \(\transpose{f'}\) について今の証明と同じ随伴性を確かめると, \(f = (f' \times 1) \eval = \transpose{f'}\) が出てきて, \(\transpose{f} = f'\) となる.
ところで, 逆に, この普遍性を eval と冪の定義としてもよい. (実際, 層の冪 ではそうやって定義された.) ただし射の対応を与えて適切に \((-)^A\) を関手にしないと随伴性は成り立たない. 適切に与えた場合に随伴になるのは自明なので省略. 図式だけ書くと, \(g \colon Y \to Z\) について次が可換になれば良い. \[\begin{CD} X \times A @= X \times A \\ @V\transpose{f} \times 1VV @VfVV \\ Y^A \times A @>\eval>> Y \\ @Vg^A \times 1VV @VgVV \\ Z^A \times A @>\eval>> Z \end{CD}\]
左の縦の射 \((g^A \circ \transpose{f}) \times 1 = (g^A \times 1) (\transpose{f} \times 1) \colon X \times A \to Z^A \times A\) は, 右の縦の射 \(g \circ f \colon X \times A \to Z\) の transpose によって, \((g^A \circ \transpose{f}) \times 1 = \transpose{gf} \times 1\) と書ける. すなわち \[g^A \circ \transpose{f} = \transpose{gf}.\]
この \(f\) に \(\eval\) を入れるとさっきのが出てくる
集合と関数からなる圏 \(\Sets\) での例を考える. この圏での直積 \(\times\) は普通の集合の直積（デカルト積）のこと. \[\Sets(X \times A, Y) \simeq \Sets(X, Y^A)\] この対応は カリー化 (左辺から右辺への対応) として知られている. すなわち関数 \(f \colon X \times A \to Y\) は各 \(x \in X\) について, \[f_x \colon A \to Y\] \[f_x(a) = f(x,a)\] を定めることができる. さらに \(Y^A\) を \(A\) から \(Y\) への関数全体からなる集合 \[Y^A = \{ g \mid g : A \to Y \}\] と定めれば, \(f\) は \[f_{-} \colon X \to Y^A\] \[f_{-} \colon x \mapsto f_x\] なる関数と同一視できる. この \(f\) と \(f_{-}\) との関係が transpose になっている.
これが \(\Sets\) での冪対象. 次に eval 射を見る.
まず \(1 \in \Sets(Y^A, Y^A)\) という恒等関数を考える. \(\eval\) はこれに対応する \(\transpose{1} \colon Y^A \times A \to Y\). \[f_x(a) = f(x,a)\] に, \(f_{-}=1, f=\eval\) を代入すると, \[1_f(a) = \eval(f,a)\] を得る. ここで \(1_f = f\) だから結局, \[\eval(f,a) = f(a)\] となる.
というわけで \(\eval\) は関数 \(f\) と引数 \(a\) を受け取って \(f(a)\) を返す操作を表す. これはふつう関数適用 (apply) と呼ばれる.
"eval 射" よりも "apply 射" の方がしっくりくる.