トポス - 定義

2019-10-17 (Thu.)

\(\def\singleton{\{\ast\}}\)

定義

以下の性質を満たす圏を トポス という.

1. 終対象 \(1\) があり, 積対象 \((A \times B)\) があり, 冪対象 \((A^B)\) があること
2. 始対象 \(0\) があり, 余積があること
3. 後述する subobject classifier があること

2 は実は 1 と 3 から導かれるので無くても良いがあるとラク.

subobject classifier

対象 \(\Omega\) と \(1\) からの射 \(t \colon 1 \to \Omega\) が以下を満たす時, これを subobject classifier という.

任意の射 \(f \colon A \to \Omega\) について, ちょうどただ一つの射 \(g \colon B \to A\) によって,

\(\require{AMScd}\) \[\begin{CD} B @>!>> 1 \\ @VgVV @VtVV \\ A @>f>> \Omega \end{CD}\]

が pullback になる. ところでこれは圏論から導かれる事実であるが, 終対象からの射 \(t\) は常に mono であり, pullback において mono の向かい側にある \(g\) もまた必ず mono である.

逆に, mono 射 \(g \colon B \to A\) があるとき, ちょうどただ一つの射 \(f \colon A \to B\) によって, やはり先の可換図を pullback にする.

すなわち, mono 射 \(B \to A\) と射 \(A \to \Omega\) の間に一対一対応がある. ここで \(g\) から \(f\) への対応付を \(cl\) と書く (\(f = cl(g)\)).

イコール射

恒等射の積 \(\Delta_A = \langle 1_A, 1_A \rangle \colon A \to A \times A\) に対して \[cl(\Delta_A) \colon A \times A \to \Omega\] を \((=)_A\) と定める.

singleton 射

冪対象の定義を思い出すとそれは, \(f \colon A \times B \to C\) という射に対して \(\hat{f} \colon B \to C^A\) が自然に一対一対応するものであった.

先のイコール射をこの \(f\) に代入して \(\hat{(=)_A} \colon A \to \Omega^A\) を singleton 射 \(\singleton_A\) と定める.

Set での例

トポスやイコール射, singleton 射が何を表すかは Set を考えると一番自明で分かる.

Set はトポス

集合と写像からなる圏 Set はトポスの要件 1, 2 は明らかに満たす. subobject classifier としては

• \(\Omega = \{0,1\}\)
• \(t \colon 1 \to \Omega; t(\ast) = 1\)

がある. 直感的には \(\Omega\) は Boolean 集合, \(t\) は true のことだと思えば良い.

対応 \(cl\) は次のように定まる.

\(f \colon A \to \Omega\) について, \(B = \{ a \in A \mid f(a) = 1 \}; g = cl^{-1}(f); g(a) = a\) （包含写像）.

mono 射（ここでは単写像）\(g \colon B \to A\) について, \(f = cl(g); f(a) = \begin{cases}1 & \text{ when } \exists b \in B, g(b) = a\\ 0 & \text{ otherwise }\end{cases}\).

これは結局, 単写像とは本質的に包含写像であることを利用している. すなわち, mono \(g \colon B \to A\) について, \(b \sim a \iff g(b) = a\) とすれば \(B \subset A\) だと思える. そして \(cl(g)\) は \(a \in A\) について, \(a \in B\) かどうかを判定する述語だと見做すことが出来る.

Set のイコール射

イコール射はどんなものになるか. \((=)_A\) は \(\Delta_A(a) = (a, a)\) の \(cl\) であるから,

\[(=)_A \colon A \times A \to \Omega\] \[(=)_A (a, b) = \begin{cases} 1 & \text{ when } \exists c \in A, (c, c) = (a, b)\\ 0 & \text{ otherwise }\end{cases}.\]

\(\exists c, (c, c) = (a, b)\) ってのは結局 \(a = b\) という意味だから \[(=)_A (a, b) = \begin{cases} 1 & \text{ when } a = b\\ 0 & \text{ otherwise }\end{cases}.\] と書いたほうがいい. そしてこれは要するに２つの引数 \(a\) と \(b\) を受け取ってそれがイコールかどうかを判定する述語になっている.

Set の singleton 射

singleton 射はイコール射の transpose. すなわちカリー化したもののことで,

• \(\singleton_A (a) = f_a \colon A \to \Omega\)
• \(f_a(b) = (=)_A(a, b)\)

ここで \(f_a\) を \(\{a\}\) と書こう. これは一つ引数を受け取ってそれが \(a\) とイコールかどうかを判定する述語だと思える.

集合とは, 数を受け取って, それが所属するかどうかを判定する関数だと思うことが出来る. 今定めた \(\{a\}\) はまさにそれの要素が一つだけのバージョンに相当している.