2標本のt検定

2021-01-06 (Wed.)

平均の同等性の検定

\(\def\N{\mathcal N}\def\bar#1{\overline{#1}}\) 2つの正規分布

• \(\N_1 = \N(\mu_1,\sigma_1^2)\),
• \(\N_2 = \N(\mu_2,\sigma_2^2)\)

があってそれぞれから \(n_1, n_2\) 個ずつサンプリングしてくる.

• \(X_1^1, \ldots, X_1^{n_1} \sim \N_1\),
• \(X_2^1, \ldots, X_2^{n_2} \sim \N_2\)

これらから \(\mu_1 = \mu_2\) であるかどうかを検定したい. 特にここでは \[\sigma_1 = \sigma_2\] を仮定する.

2標本t検定

とりあえず結論だけ見たければ これ を見れば良いです.

導出

次のような方針を採用する. \(\mu_1, \mu_2\) は普通に標本平均から推定できそう.

• \(\bar{X_1} = \frac{1}{n_1} \sum_j X_1^j\)
• \(\bar{X_2} = \frac{1}{n_2} \sum_j X_2^j\)

これらに差があるかどうかだから, \(\bar{X_1} - \bar{X_2}\) という差を調べる. 母平均に差が無いとは, この標本平均の差がゼロであるということ.

今, 母平均が等しいことを帰無仮説とする. すなわち, \(\mu_1 = \mu_2 = \mu\) だし \(\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma\) と仮定して話を考える. \[\N_1 = \N_2 = \N(\mu,\sigma^2).\]

標本平均が従う正規分布は,

• \(\bar{X_1} \sim \N(\mu, \sigma^2 / n_1)\)
• \(\bar{X_2} \sim \N(\mu, \sigma^2 / n_2)\)

これの差もやはり正規分布に従って,

• \(\bar{X_1} - \bar{X_2} \sim \N(\mu - \mu, 1^2 \sigma^2 / n_1 + (-1)^2 \sigma^2 / n_2) = \N(0, \sigma^2 (1/n_1+1/n_2))\)

両辺を適当に割れば,

\[\frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sigma \sqrt{1/n_1+1/n_2}} \sim \N(0,1)\]

これだけで検定をすることも考えられるが, これだけだと標本が \(n_1 + n_2\) 点もあるのに, それぞれの平均という2点しか使ってないことになる. t 検定まで考えることで, 標本をフルに使える.

標本から, 残差和

• \(S_1 = \sum_j (X_1^j - \bar{X_1})^2\)
• \(S_2 = \sum_j (X_2^j - \bar{X_2})^2\)

とすれば次が成り立つのだった.

• \(S_1 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n_1-1}\)
• \(S_2 / \sigma^2 \sim \chi^2_{n_2-1}\)

さらにこれらの和も \(\chi^2\) 分布に従ってしかもその自由度は単に足し算すればよく（再生性）

\[\frac{1}{\sigma^2} (S_1 + S_2) \sim \chi^2_{n_1+n_2-2}\]

以上から次の値が \(t_{n_1+n_2-2}\) 分布に従うことが分かる.

\[T = \frac{ \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{\sigma \sqrt{1/n_1+1/n_2}} }{ \frac{1}{\sigma^2} (S_1 + S_2) } = \frac{\bar{X_1} - \bar{X_2}}{ (1/n_1 + 1/n_2) \frac{S_1+S_2}{n_1 + n_2 - 2}} \sim t_{n_1+n_2-2}\]

これを使った検定のことを, 表題のように言う.