Tue Jun 13 2017

日記・まえがき

昨晩寝られずに考えていたことを日記として書きます.

• 人間は日常的に常識を用いて推論を行う
• 常識とは仮定が隠されていたり、常には成り立たない (確率的に成立) 命題であることしばしばである
• 会話の中で (二人で協力的に) 推論を行う中で次のような操作がある
  • 例外の指摘
    • 「犬って吠えて煩いよね」に対して「 でも (例えば小型犬は) おとなしい犬だっているよ」
  • 正確化
    • 成立する確率を上げるような補足情報を仮定に付け加える操作
    • 「確かにあまり躾がなされてない犬は煩いよね」

このような操作を繰り返すことで常識は二人の中で精緻化される. 精緻化に関する 深さ みたいなのを想像することが出来る. 行き着く深みまで達した会話は、哲学者同士の会話のようなものだろう.

ところで私は人にアタリマエのことを確認することにトラウマがある. 聞くは一時の恥だと考え、 「\(A\) は \(B\) として処理すべきですかね？」 と聞く. すると相手は 「\(A'\) は \(B\) として処理しないかい？」 と返すから、最もシンプルに考えるともちろんそうだから、「そうだ」と言うと、 「じゃあ \(A\) もどうすべきか分かるよね」 と、呆れて答える. 私としては、それよりも一つ深いところまで考えた上で質問したのに、その意図を汲みとってくれない. 相手は、それよりも深い精緻化がありえないと考えているのか（相手がバカ）、 或いは私にそこまで深く説明する理由はないと考えているのか（私がバカだと思われている）、 のどちらかだ. 大抵、後者な気がする. 「でもこんな例外もありえますよね？」などと突っ込めば、相手も更に詳細に考えるきっかけになるのかもしれないが、 私も面倒くさがりなので、それならそれでいいかと思って黙ってしまう.

というわけで、昨日私が寝ずに考え事をした結論として、次のような教訓を得た. 頭は良いと思われている方が有利である.

記号論理の拡張: 確率的命題の導入

古典論理を考える. 排中律とか認める. これに次のシンボルを導入する.

確率的命題

• 実数 \(0 \leq p \leq 1\) に対して \(R(p)\) は命題である
• \(R(1) = \mathrm{true}\) (恒真)
• \(R(0) = \mathrm{false}\) (恒偽)
• \(\lnot R(p) = R(1-p)\)

即ち、\(R(p)\) とは確率 \(p\) で真になるようなシンボルのことである. AND と OR を定義したい.

• \(R(p) \land R(q) = R(pq)\)

即ち 1 つの論理式の中に登場する \(R\) は全て独立だとしている. というわけで、同時確率である. \(R\) もド・モルガンを満たすとでもしておけば

• \(R(p) \lor R(q) = 1 - R((1-p) (1-q))\)

確率 \(p\) で起こる事象

命題 \(P\) があって、これが確率 \(p\) で起こることを \(R\) を使って言う. 初め、 \[R(p) \Rightarrow P\] とすれば十分かと思ったが、「確率 \(1-p\) で \(\lnot P\) が起こる」ことをこれから導けないのは欠陥だと気づいた. 次のようにする. \[R(p) \iff P\] 普通だ.

これから \[R(1-p) \iff \lnot P\] も導かれる.

let 束縛

1つの論理式で2つ以上の \(R\) を登場させようとすると危なっかしいことが起きる. 例えば \(P \iff R(0.5)\) とすると、 \(\lnot P \iff R(0.5)\) である. \(\iff\) の推移性を使って \(P \iff \lnot P\) が導ける気になってしまう.

まず、 \[\forall p,q, R(p) \not\iff R(q)\] であるとすれば回避できる.

それから登場する2つの \(R\) は結局１つのものなので、 \(P \iff R(0.5)\) を \[\mathrm{let}~S=R(0.5), P \iff S\] \(\lnot P \iff R(0.5)\) を \[\mathrm{let}~S=R(0.5), \lnot P \iff \lnot S\] とすれば少しは見晴らしが良くなる. let などと書いてるがこれは結局

• \((S \iff R(0.5)) \land (P \iff S)\)
• \((S \iff R(0.5)) \land (\lnot P \iff \lnot S)\)

ということである.

例外の指摘

例外の指摘とは \(P\) だという主張に対して \[\exists Q, Q \Rightarrow \lnot P\] であるという主張である. これは言葉通りを命題論理に翻訳したものだが明らかに矛盾しており、どこかに誤りがある.

常識的に考える. \(P\) だという主張は実のところ \[R(p) \iff P\] だと言っている. 即ち成立しない余地を残している. そして例外の指摘とは \[\mathrm{let}~Q = R(q), Q \Rightarrow \lnot P\] のこと.

定理

成立する気がする.

この定理を用いると、 \[q \leq 1 - p\] が成立する.

正確化

同じく \[R(p) \iff P\] という主張に対して、 ある \(q, Q\) で \[q > p\] \[\mathrm{let}~Q = R(q), Q \Rightarrow P\] が成立することを提示すること.