Wed Feb 07 2018

諸々定義

• 位相空間: 略
• 開集合、閉集合: 略
• 連続写像:
  • (位相空間の間の) 写像 \(f : X \to Y\) であって、\(Y\) の任意の開集合 \(U\) に対して逆像 \(f^{-1}(U)\) がいつも開集合となるような写像
• 同相写像:
  • 写像 \(f\) と、その逆写像 \(f^{-1}\) が共に連続であるような写像
• 被覆:
  • 集合 \(X\) の被覆 (或いは 開 被覆) とは、無限個を許す開集合の系 \(\{U_i\}_i\) であって \(\cup_i U_i=X\) となるもののこと
• コンパクト空間: 略
• ハウスドルフ空間: 略
  • 空間 \(X\) について、次のような操作 \(H\) が存在するとき、\(X\) をハウスドルフ空間と呼ぶ
    1. \(X\) から異なる2点 \(x,y\) を取ってくる
    2. \(H\) とはこの2点についてそれぞれの近傍を見つけてくる操作
       • \((U_x, U_y) = H(x, y)\)
         • \(x \in U_x\)
         • \(y \in U_y\)
       • ただし2つの近傍は交わっていないこと
         • \(U_x \cap U_y = \emptyset\)
       • このような操作 \(H\) はもちろん、\(X\) に対してただ一通りとは限らない
         • 後の説明ではとりあえず、ただ一通りを持っておく

補題1. コンパクト空間の部分閉集合はコンパクト空間

\(Y=X\) ならば自明にそうなので、そうでないとする. およそコンパクトの定義通りに示す.

\(Y\) に対して任意の被覆を与える: \[\{U_i\}_i : \bigcup_i U_i = Y.\]

これに単集合 \(\{X \setminus Y\}\) を付け加える. ここで \((X \setminus Y)\) は \(Y\) が閉集合であることから開集合であることに注意. \[\bigcup_i U_i \cup (X \setminus Y) = X\] であるので、これは \(X\) の被覆である.

さて \(X\) はコンパクト空間であるので、有限のインデックスの集合 \(I\) を使って、 \[\bigcup_I U_i \cup (X \setminus Y) = X\] とできる.

これに対して \[\bigcup_I U_i = Y\] であることもほとんど明らか. 従って \(Y\) もコンパクト空間.

補題2. コンパクト空間を連続写像で写した先はコンパクト空間

これも先ほど同様に定義通り示す. \(f\) の値域を \(Y\) に制限したとき、\(f\) は全射であることに注意.

\(Y\) に任意の被覆 \(\{U_i\}_i\) を取ってくる. 各 \(U_i\) を \(f^{-1}\) で戻してきたものを \(V_i = f^{-1}(U_i)\) と書くことにするが、\(f\) の連続性より、これらは開集合.

さて \(\{V_i\}_i\) は \(X\) の被覆となっている. さもなくば、どの \(V_i\) にも属さない点 \(x \in X\) を取ってきて \(\forall i, f(x) \not\in U_i\). とでき、\(U_i\) が被覆であることに反する.

そして \(X\) がコンパクトであることの仮定から、有限のインデックスの集合 \(I\) を用いて \[\bigcup_I V_i = X\] とできる. 同じインデックス集合を用いて \[\bigcup_I U_i = Y\] とできることもほとんど明らか (特に全射性があるので). 従って \(Y\) もコンパクト空間.

定理. コンパクト空間からハウスドルフ空間への連続全単射は同相写像

多様体であることを示す先に局所座標を与えるが、局所座標であるためには同相写像でなければならない. そのような場合にこの定理を何度も用いた.

\(f:X \to Y\) が連続であることは仮定してあるので、その逆 \(f^{-1}: Y \to X\) が連続であることを示せば、\(f\) は同相写像である. 連続写像の定義から、結局次を示せば良い.

\(fU\) が \(Y\) または \(\emptyset\) ならば自明に開集合であるので、そのような場合は除く. この場合、 \(fU\) も \(Y \setminus fU\) も空でないので、どちらからも1点ずつ取ってくることが出来る. \(Y\) はハウスドルフ空間であるので、その2点を分離する近傍を取れる. これを利用する.

ある一点 \(y \in fU\) に対してこの上のような近傍を構成する.

• 点 \(y \in fU\) に対して、\(fU\) の補集合のすべての点を分離させる:
  • \(\{ H(y, y') = (V_y, V_y') : y' \in (Y \setminus fU) \}\)

仮定から \(X\) はコンパクト. \(X\setminus U\) は \(X\) の部分閉集合なので、これもコンパクト (補題1). これを \(f\) で写した先 \(f(X \setminus U) = Y \setminus fU\) も、やはりコンパクト (補題2).

\[\{ V_y' \cap (Y\setminus fU) : y' \in (Y \setminus fU), H(y, y') = (V_y, V_y') \}\] これは \((Y \setminus fU)\) における被覆である. 注意として、\((Y\setminus fU)\) における位相あるいは開集合とは、\(Y\) における開集合を制限 (\(\cap\)) したものであること. そしてこれがコンパクトであるので、有限の点集合 \(J=\{y'\}\) で尚被覆できる. \[(Y\setminus fU) = \bigcup \{ V_y' \cap (Y\setminus fU) : y' \in J \}\] \(V_y\) と \(V_y'\) が交わらないので、 \[\iff fU \supseteq \bigcup \{ V_y : y' \in J, H(y,y')=(V_y,V_y') \}\]

この右辺は有限個の開集合の union なのでやはり開集合である. 構成の仕方より \(y\) を含む近傍であって、 そして \(fU\) の含まれる集合であることを示した.

任意の点 \(y\in fU\) についてこれが言えるので、結局これは \(fU\) が開集合であることを言っている.

というわけで、 任意の開集合 \(U\) に対して \(fU\) が開集合である. 従って \(f^{-1}\) は連続写像である. 仮定と併せて \(f\) は同相写像である.