\(\def\O{\mathcal{O}}\def\R{\mathbb{R}}\) ใใใงใฏใ้ๅ \(X\) ใซไฝ็ธใๅ ฅใใใใจใฏใใฎ้้ๅ็ณป \(\mathcal{O}(X)\) ใๅฎใใใใจใ ใจใใ. ใใใฆใ ๆขใซไฝ็ธใๅ ฅใฃใ็ฉบ้ใงใใ \(X\) ใฎ็น \(x\) ใฎ่ฟๅใจใฏ้้ๅใงใใฃใฆ \(x\) ใๅซใ้ๅใใคใพใ \[x \in U_x \in \mathcal{O}(X)\] ใชใ \(U_x\) ใฎ๏ผใคใฎใใจใงใใ.
้ใซใ้ๅ \(X\) ใจใใฎๅ็น \(x\) ใซๅฏพใใฆ่ฟๅ \(U_x\) ใๅฎใใๆใ่ช็ถใซไฝ็ธใๅ ฅใใใใจใใงใใ.
ใจใใใฎใไปๆฅ็ฅใฃใใฎใงใกใข.
้้ๅใฎๆง่ณชใจใใฆๆฌกใฎใใใชใใฎใใใ.
\(U\) ใ้้ๅใงใใใจใใใพใใใฎใจใใซ้ใใไปปๆใฎ็น \(x \in U\) ใซใคใใฆใใฎ่ฟๅ \(V_x\) ใใใฃใฆใ \[\forall x, \exists V_x, x \in V_x \subseteq U.\]
ใใใๅฉ็จใใ.
้ๅ \(X\) ใจใใฎๅ็น \(x\) ใซๅฏพใใฆ่ฟๅ \(U_x\) ใๅฎใพใฃใฆใใใจใใ. ใใฎใจใใๆฌกใซใใฃใฆ้้ๅ็ณปใๅฎใใ.
\(U\) ใ้้ๅใงใใ ใจใฏ ๆฌกใๆ็ซใใใใจ: \[\forall x, \exists V_x, x \in V_x \subseteq U.\] ใใใง \(V_x\) ใฏ \(x\) ใฎ่ฟๅ.
ใใ ใใใใใ็ขบใใซ้้ๅ็ณปใงใใใใจใ็ขบ่ชใใใซใฏใ้้ๅ็ณปใฎๅ ฌ็ใ็ขบ่ชใใๅฟ ่ฆใใใ. ใใใฆใใใใฏใใใใ่ฟๅใ้ฉๅใชใใฎใงใใๅฟ ่ฆใใใ.
้้ๅ็ณปใฎๅ ฌ็ใฏๆฌกใฎใใใชใใฎใงใใฃใ.
1ใคใใฏ่ชๆใซๆใ็ซใค. \(U=\emptyset\) ใฎใจใใ\(x \in U\) ใชใ็นใใชใใฎใง้้ๅใจใใฆใฎๆกไปถใ่ช็ถใซๆ็ซใใ. ๅพใฃใฆ \(\emptyset\) ใฏ้้ๅใงใใ. \(U=X\) ใฎใจใใไปปๆใฎ็น \(x\) ใซๅฏพใใฆใใฎ่ฟๅ \(U_x\) ใฏใใใใจใซใชใฃใฆใใใฎใงใ\(U_x \subset X\) ใใใ\(X\) ใใใฏใ้้ๅใงใใ.
็น \(x\) ใซๅฏพใใฆไปปๆใฎ่ฟๅ \(U_x\) ใๅใฃใฆใใ. \(U_x\) ่ชไฝใ้้ๅใจใใฆใฎๆกไปถใๆบใใใฆใใ (\(x \in U_x \subseteq U_x\)) ใฎใงใ\(U_x\) ใ้้ๅใงใใ. ๅพใฃใฆ่ฟๅ็ณปใฏ้้ๅ็ณปใฎ้จๅใงใใ.
\(X=\R^n\) ใฎๅ ดๅใ้็ใ่ฟๅใฎไพ. \[B_r^x = \{ y \in \R^n : \|x-y\|^2 < r^2\}\] ใใ ใ \(r\) ใฏไปปๆใฎๆญฃๆฐ.
ใใใ่ฟๅใจใใใใจใง้้ๅ็ณป \(\O(\R^n)\) ใๅฎใใ.
1ใค็ฎใฏ่ชๅ็ใซๆใ็ซใคใฎใงใๅ ฌ็ใฎ2ใค็ฎใใใงใใฏใใ.
\(U_1, U_2\) ใ้้ๅใงใใใจใใ. \(U_1 \cap U_2\) ใ่ใใ. ใใใ็ฉบ้ๅใจใใใจ่ชๆใซ้้ๅใชใฎใงใ็ฉบ้ๅใงใชใใจใใ่ใใ. ็ฉบใงใชใใฎใงๅฐใชใใจใ1็น \(x\) ใๅซใ. \(x \in U_1\) ใชใฎใงใใใ่ฟๅ \(B_r^x\) ใใใฃใฆใ \[x \in B_r^x \subset U_1\] ใๆใ็ซใค. ๅๆงใซ \(U_2\) ใซใคใใฆใใใ่ฟๅใใใฃใฆ \[x \in B_{r'}^x \subset U_2\] ใๆบใใ. \(r'\) ใฏๅ ใปใฉใฎ \(r\) ใจไธ่ดใใใจใฏ้ใใชใ.
ใใฎ2ๅผใฎ \(\cap\) ใๅใฃใฆใฟใใจ \[x \in B_r^x \cap B_{r'}^x \subset U_1 \cap U_2\] ใ่จใใ. ใใฆใ \(B_r^x, B_{r'}^x\) ใฏใฉใกใใ็น \(x\) ใๅๅฟใจใใ็ใชใฎใงใใใฎ็ฉใฏ็ฐกๅใซใ\(q = \min{r,r'}\) ใจใใฆ \[B_r^x \cap B_{r'}^x = B_q^x\] ใงใใ. ๅพใฃใฆใ \[x \in B_q^x \subset U_1 \cap U_2\] ใใฎๅผใฏใ\(U_1 \cap U_2\) ใซใคใใฆใใใใฏใ่ฟๅ \(B_q^x\) ใๅจใฃใฆ้้ๅใฎๆกไปถใๆบใใใใจใ่จใฃใฆใใ. ใจใใใใใง \(U_1 \cap U_2\) ใ้้ๅใงใใ.
ๅคง้ๆใซ่จใใฐใ ไป่ฆใใใใซใ่ฟๅใจ่ฟๅใฎ็ฉบใงใชใ็ฉใใๅฐใ่ฟๅใฎๅฝขใไฟใฃใฆใใใฐใ่ฟๅใจใใฆ่ฏใ็ฉใงใใใใฏ้้ๅ็ณปใ่ชๅฐใใใใฎใงใใ.
ๆฌกใซๅ ฌ็ใฎ3ใค็ฎใใใงใใฏใใ.
\(U_i\) ใ้้ๅใ ใจใใ. \(\bigcup_i U_i\) ใ่ใใ. ใใฏใ็ฉบใงใชใใ\(x \in \bigcup U_i\) ใจใใ. \(\exists i, x \in U_i\) ใ่จใใ. \(U_i\) ใฏ้้ๅใชใฎใงใใใ่ฟๅใใใฃใฆ \[x \in B_r^x \subseteq U_i.\] \(U_i \subseteq \bigcup U_i\) ใชใฎใง \[x \in B_r^x \subseteq \bigcup_i U_i.\] ใจใใใใใง \(\bigcup_i U_i\) ใ้้ๅ.