仕事から帰ったら一秒でも早くお酒を飲みたいので飲んで、身体が動かなくなる. 寝て起きるのはお昼過ぎでさっさと仕事に行かないといけないのでプライベートの時間がない.
Simplicial Set の degeneracy maps が何なのか分からない. それが分からないのでなんで \(\Delta\) 上の order-preserving maps が複体の上の写像に対応してるのかが分からない.
こないだ自分がやってた仕事が完全に終わって、昨日からずっと暇だった. 暇つぶしに、円周率チャレンジ https://rirosi.net/plus2/ をやってた. \(0\) から始めて、\(2\) を足すか根号を取るかをすることを繰り返し操作して、出来るだけ少ない操作数で、出来るだけ円周率に近い値を出すゲーム. 分からないけど float32 くらいの精度しか無いので (たぶん) 簡単に目的の値にぴったりイコールを出すことができる. ランキングの上位を見れば簡単に必要な操作数が分かるので全探索した (半分全列挙).
まず simplex category \(\Delta\) とは対象が有限全順序集合 \([n] = \{0,1,\ldots,n\}\) であって, 射はそれられの間の順序を保つ写像 (order-preserving mapping). つまり \(f : [n] \to [m]\) とは \[1 \leq i \leq j \leq n \implies 1 \leq f(i) \leq f(j) \leq m\] なる写像 \(f\). ここで \(n\) は \(0\) 以上の自然数であるが, ここに負数を用いて \([-1] = \emptyset\) を定めてこれを入れるか入れないかのバリエーションがある. ここでは含めないものとする. (含めないものを特に \(\Delta_{+}\) と書くこともあるそう.)
さて単体的集合とは, 関手 \(\Delta^{\text{op}} \to \mathrm{Sets}\) のこと (\(\Delta\) の上の前層であるとも言える).
1つの単体的集合は1つの複体を表す.
例として簡単に辺のみからなる三角形を考える.
ただし実際には頂点は全順序集合だと初めから考えておいたほうがよい. その意味で複体ではなく有向グラフだと言ってしまうことがある. ここでは \[u<v<w\] としておく.
これを単体的集合 \(X\) として表現する. \(X([n])\) を単に \(X_n\) と書くことにするが, \(X_n\) は複体が含む \(n\)-simplex 全てを集めた集合に対応付ける.
上の複体は 1-simplex として3つの辺 \(uv, vw, wu\) を持ち, また 0-simplex として3つの頂点 \(u,v,w\) を持ってそれ以外を持たない.
これだけだけだとその間の接続関係が分からない. 例えば \(uv\) と \(vw\) は頂点 \(v\) で接続している. こういう情報が射にある.
接続関係を表すための表現として次の2つがあればよい:
\[\delta^{n,i} : [n-1] \to [n]\] \[\delta^{n,i}(m) = \begin{cases} m & \text{ if } m < i \\ m+1 & \text{ o/w }\end{cases}\]
\[\sigma^{n,i} : [n+1] \to [n]\] \[\sigma^{n,i}(m) = \begin{cases} m & \text{ if } m < i \\ m-1 & \text{ o/w }\end{cases}\]