労働意欲が最低なので日記を書きます.
Awodey の本では Right Adjunctions Preserve Limits ということで, この性質のことを RAPL と呼んでるそう. Awodey さんはなんでも四文字に略そうとする.
この性質は簡単に示せる大したことないことなので日記に書くことにする.
念のために確認しておくと, 2つの圏の間の 2つの関手 \(F : \mathcal C \to \mathcal D\), \(G : \mathcal D \to \mathcal C\) があって, 次のような自然な同型対応 (自然であることについては後述) \[\forall X \in \mathrm{ob}(\mathcal C), \forall Y \in \mathrm{ob}(\mathcal D), \mathrm{Hom}_{\mathcal C}(GY, X) \simeq \mathrm{Hom}_{\mathcal D}(Y, FX)\] があるとき, \[G \dashv F\] と書いて, \(F, G\) を随伴関手という. また \(F\) を \(G\) の 右随伴 だというのだった. 逆に \(G\) を \(F\) の 左随伴 という.
ところで同型対応なので
に対して,
があるわけだが, この対応が自然であるとは, 次のようなことが成り立つこと.
今 \(g : E_1 \to E_2\) があって \[\tau_2 = g \tau_1\] であることと \[\nu_2 = (Fg) \nu_1\] が同値であること.
\(Y\) 側に関しても同様に可換性が成立するが, あとで使うのはとりあえずこっちだけなのでこっちだけ書いた.
\(\mathcal C\) におけるある部分圏 \(\mathcal E\) の limit \(L\) があるとき, これらを右随伴関手 \(F\) で写して, \(F\mathcal E\) は \(\mathcal D\) の部分圏であって, \(FL\) がこれの limit になっている.
また双対を取れば, 左随伴は colimit を保つことも言える.
基本的に関手なので可換性については自動的に成り立つ. 問題は, 任意の錐 \(Y\) があったときに \(Y \to FL\) が唯一にあるかどうかだが, ここで随伴の性質が効く. すなわち, \(\mathrm{Hom}(Y,FL)\) は \(\mathrm{Hom}(GY, L)\) と同型である. また随伴の自然性から \(GY\) は尚も \(\mathcal E\) の錐である. そして \(L\) は \(\mathcal E\) の limit であったので, \(GY \to L\) は唯一存在する. というわけで \(Y \to FL\) も唯一存在して, \(FL\) はやはり limit である.