ボルツァーノ=ワイエルシュトラスの定理

2020-02-07 (Fri.)

集合位相

\(\def\Rn{\mathbb R^n}\)

定理

有限次元ユークリッド空間 \(\Rn\) においては, コンパクトであることと有界閉集合であることは同値.

\[\forall Z \subset \Rn, Z \text{ is compact } \iff Z \text{ is bounded and closed.}\]

証明は次の3つに分けた補題から示される.

補題 1: コンパクト \(\implies\) 閉集合

これは 以前に 証明済みなので概略だけ言う. \(\Rn\) はハウスドルフ空間である(実数が稠密であるのでそれは明らか).

コンパクト集合 \(Z\) があるとき, その補集合 \(Z' = \Rn \setminus Z\) が開集合であることが確認できればいい. 開集合であることは, 任意の点の周りに開集合が取れればいい. つまり, \[\forall x \in Z', \exists \text{ open } U, x \in U \subset Z'\] というように \(U\) が構成できればいい. ここでハウスドルフの性質を使う. 点 \(x\) に対して全ての点 \(z \in Z\) を分離出来る. \[\forall z \in Z, \exists z \in V_z \in Z, \exists x \in U_z, V_z \cap U_z = \emptyset\] これで \(U_z\) をすべて集めて積をとれば \(x \in \bigcup U_z \subset Z'\) には違いないのだけど, 一般に無限個の開集合の積は開集合とは限らない. ここで \(Z\) のコンパクト性から, \(\{ U_z \}\) の内, 有限個だけ集めれば \(Z\) の被覆になっている. それを \(\{ V_z \mid z \in S \}\) とするとき, 対応する \(\{ U_z \mid z \in S \}\) を考えれば, これは \(U\) と重ならないので \(U = \bigcup_{z \in S} U_z\) とすればいい. これは有限個の積なので確かに開集合.

補集合が開集合なので \(Z\) は開集合.

補題 2: コンパクト \(\implies\) 有界

一つのサイズが有限のような被覆で \(\Rn\) を覆って見せればよい. 例えば, 球の列 \[\{ U_i = ( \| x \|_2 < i ) \mid i = 1,2,\ldots \}\] は確かに \(\Rn\) の被覆である.

\(Z \in \Rn\) がコンパクトならば, \[\{ U_i \cap Z \}\] の内有限個を集めれば \(Z\) の被覆になっている. 有限個なのでその添字 \(i\) の最大値 \(I\) が取れて, \(Z\) の半径として \(I\) という上限が得られる. 従って \(Z\) は有界.

補題 1,2 を合わせて, コンパクト \(\implies\) 有界閉集合, が示された.

補題 3: 有界閉集合 \(\implies\) コンパクト

有界閉集合 \(Z\) がコンパクトであることを示す. 一般にコンパクト集合の部分集合はコンパクトなので, \(Z\) より大きな閉集合を作ってそれがコンパクトであることを示す.

\(Z\) は有界なので適当なサイズの超立方体 \(C_0\)\(1\) 個で \(Z\) を被覆できる \((C_0 \supset Z)\).

\(C_0\) がコンパクトでないと仮定して矛盾を導く. 適当な被覆 \(\{U_i\}\) を考える. コンパクトでないので有限被覆を持たない.

\(C_0\) を一辺サイズ \(1/2\)\(2^n\) 個の立方体に分割することを考える. 小立方体の内の少なくともどれかは, やはり \(\{U_i\}\) の有限被覆を持たない. そうでないと全て有限被覆で済むことになって \(C_0\) がコンパクトであることに反する. というわけでその有限被覆を持たない小立方体の一つを \(C_1\) とする.

このことを繰り返してくと \(C_0, C_1, C_2, \ldots\) という列が出来る. サイズは半分ずつになっていくので, その極限はある一点 \(x\) に収束する. ここで \(C_0\) が閉集合であるので極限値 \(x\)\(C_0\) に含まれる.

被覆の内 \(x\) を含むものを \(x \in U_j\) とする. これに対して十分大きな \(k\) を取れば \(x \in C_k \subset U_j\) とできる. これは \(C_k\) が有限被覆を持たないことに矛盾する.