冪集合モナド

2018-07-08 (Sun.)

圏論

Kleisli triple の定義

\(C\) があるとする. Kleisli triple (単に triple) とは次の \((T,\eta,-^{\#})\) という三つ組:

  1. \(C\) の対象を \(C\) の対象に割り当てる関数 \(T: Ob(C) \to Ob(C)\)
  2. \(C\) のそれぞれの対象 \(A\) について \(\eta_A : A \to TA\) という射を与えるもの
  3. \(C\) の射 \(f : A \to TB\) に対して、射 \(f^{\#} : TA \to TB\) を与えるもの

ただし次を要請する:

  1. \(f : A \to TB\) について、\(f = f^\# \circ \eta_A\)
  2. 対象 \(A\) について、\(\eta_A^\# = 1_{TA}\)
  3. \(f: A \to TB, g: B \to TC\) について、\(g^\# \circ f^\# = (g^\# \circ f)^\#\)

冪集合 triple

対象が全ての集合で、射が写像であるような圏 \(Sets\) を考える. 対象 \(A\) に対して \[A \mapsto PA=\{X : X \subseteq A\}\] という割り当てを考えられる. この \(P\) は冪集合を作っているわけだが、これは適切な \(\eta, -^{\#}\) によって triple になる.

\(\eta_A : A \to PA\) を考える. 自明なものとしては \[\eta_A (a) = \{a\}\] がある. これを採用する.

要請の1から適切な \(-^{\#}\) を考える. \[\begin{align*} f(a) & = f^\#(\eta_A(a)) \\ & = f^\#(\{a\}) \end{align*}\] これが成り立つためには \(f(a) \in PB\) に注意すれば \[f^\#(\alpha) = \bigcup_{a \in \alpha} f(a)\] とすればよいことが分かる.

残りの要請2,3がたしかに成立していることを確認する.

要請2

\[\begin{align*} \eta_A^\# & : PA \to PA \\ \eta_A^\#(\alpha) & = \bigcup_{a \in \alpha} \eta(a) \\ & = \bigcup_{a \in \alpha} \{a\} \\ & = \alpha \end{align*}\] となって確かに \(\eta_A=1\) となっている.

要請3

について、 \[\begin{align*} (g^\# \circ f^\#)(\alpha) & = g^\# \left( \bigcup_{a \in \alpha} f(a) \right) \\ & = \bigcup_{b \in \bigcup_{a \in \alpha} f(a)} g(b) \\ & = \bigcup_{a \in \alpha} \bigcup_{b \in f(a)} g(b) \\ (g^\# \circ f)^\#(\alpha) & = \bigcup_{a \in \alpha} g^\#(f(a)) \\ & = \bigcup_{a \in \alpha} \bigcup_{b \in f(a)} g(b) \\ \end{align*}\] であるので確かに2つは一致している.

冪関手 (fmap)

triple における \(T\) 、冪集合の例での \(P\) は単に対象を対象に割り当てるものだったが、 同様に射にも割り当てを構成することで (自己) 関手となる. それには下の図式を用いる.

\(\require{AMScd}\) \[\begin{CD} A @>f>> B \\ @. @V\eta_BVV \\ TA @>(\eta_B \circ f)^\#>> TB \end{CD}\]

即ち射 \(f: A \to B\) に対して \[Tf := (\eta_B \circ f)^\#\] とする.

冪集合 triple \(P\) の場合、これは次のようになる. \[\begin{align*} f & : A \to B \\ Pf & : PA \to PB \\ Pf(\alpha) &= (\eta \circ f)^\#(\alpha) \\ &= \bigcup_{a \in \alpha} (\eta \circ f)(a) \\ &= \bigcup_{a \in \alpha} \{f(a)\} \\ &= \{ f(a) : a \in \alpha \} \end{align*}\]

自然変換

\(C,D\) について2つの関手 \(F,G : C\to D\) があるとする. \(C\) の各対象 \(A\) に対して、\(D\) の射: \[\alpha_A : FA \to GA\] を割り当てるような \(\alpha\) を自然変換という. ただし、次を要請する.

これを図式で書くと、下が可換であるということ

\[\begin{CD} FA @>\alpha_A>> GA \\ @VFfVV @VGfVV \\ FB @>\alpha_B>> GB \\ \end{CD}\]

冪集合の例

冪集合 triple で登場した \(\eta\) はそのまま、自然変換 \(1 \to P\) と見做すことができる. 即ち \(\eta_A : A \to PA, a \mapsto \{a\}\) であったが、

\[\begin{CD} A @>\eta_A>> PA \\ @VfVV @VPfVV \\ B @>\eta_B>> PB \\ \end{CD}\]

は確かに可換である. 念の為に確認すると、

モナド

\(C\) のモナドとは次のような三つ組 \((T,\eta,\mu)\) のことを言う.

  1. \(C\) から \(C\) への (自己) 関手 \(T\)
  2. 自然変換 \(\eta: 1 \to T\)
  3. 自然変換 \(\mu: T \circ T \to T\)

ただし、次の2つの図式を可換にすることを要請する:

[TODO: ここに図式を書く. それまでは画像検索してもらうこと. 例えば https://tnomura9.exblog.jp/15292357/ の "定義7" ]

Kleisli triple とモナドは等価で、違いは \(f^\#\)\(\mu\) だが、それらは

で変換可能.

冪集合モナド

関手 \(P\) と 自然変換 \(\eta : 1 \to P\) 及び自然変換 \(\mu : P^2 \to P\)

\[\begin{align*} \mu_A & : P^2A \to PA \\ \mu_A(\alpha) & = \bigcup_{a \in \alpha} a \end{align*}\]

です.

メモ (2018/08/23)

運良くここに登場する可換図式は全て正方形の形をしていたので、AMScd パッケージを用いて出力してみた.