層

2017-11-12 (Sun.)

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前層 (preshaef)
両立 (compatible)
層 (sheaf)

前層 (preshaef)

二通りの定義を与える.

定義1

位相空間

X

の前層とは、集合

A

, 関数

E : A \to O (X)

, 関数

⌉ : A \times O (X) \to A

(

(a, U) \mapsto a ⌉ U

) からなる三組

(A, E, ⌉)

であって次のようなもの.

任意の $a, b \in A$ に対して $a ⌉ \emptyset = b ⌉ \emptyset$
$a ⌉ E a = a$ (註意: $⌉$ の結合則は $E$ の適用より弱い)
$E (a ⌉ U) = E a \cap U$
$(a ⌉ U) ⌉ V = a ⌉ U \cap V$ (註意: $\cap$ の結合則のが $⌉$ より強い)

例

関数の集合 $A$ , 関数の定義域を与える手続き $E$ , 普通の意味で関数の(定義域の)制限 $⌉$ .

註意すべき点として、層としての制限 $⌉$ の右項には $E f$ よりも広い集合を与えても構わないということ. 関数の制限 (これを区別する意味で $⌈$ と書く) の右項には普通、ドメインより小さい領域を与えるだろう. そこで次のように $⌉$ を定め直せばよい:

f ⌉ U := f ⌈ (E f \cap U)

また、ドメインが空集合な関数は空集合ただ1つである.

f ⌉ \emptyset = \emptyset = g ⌉ \emptyset

ドメイン (定義域) が空集合であるような関数は 存在しない しないのではなく, 唯1つ 存在することに註意 (参考; 空関数 ).

明らかに前層とはこれを抽象化したものである

定義2

位相空間

X

の前層とは、

X

の開集合を適当な集合の集合

A

に写すような

F : O (X) \to A

及び $U, V \in O (X)$ について $U \subseteq V$ ならば

r_{U V} : F (V) \to F (U)

が定まっているようなもの. これらの $(F, r = {r_{U V} : U, V \in O (X)})$ を前層だという. ただし次を要請する.

$F (\emptyset)$ は単集合
$r_{U U}$ は恒等写像
$U \subseteq V \subseteq W$ のとき $r_{U W} = r_{U V} \circ r_{V W}$

こちらは圏論的に関手として前層を定義している (参考; 前層はモノイド(右)作用の一般化 ).

これら2つの定義が等価であることを確認する.

定義1 → 定義2

前層が

(A, E, ⌉)

で与えられた時、次で定義2を構成できる.

$F (U) = {f \in A : E f = U}$
$r_{U V} (f) = f ⌉ U$

要請を満たすことを確認する.

$F (\emptyset) = {f : E f = \emptyset}$ は単集合か?
- $f = f ⌉ (E f)$ より $f \in F (\emptyset) \Rightarrow f = f ⌉ \emptyset$
- $F (\emptyset)$ が 2つ以上の要素をもって $f, g$ がそうであるとき、
  - $f = f ⌉ \emptyset = g ⌉ \emptyset = g$
  - 従って、 $F (\emptyset)$ は要素を高々1つしか持たない
- また $F (\emptyset)$ は空集合でもない
  - 任意の $a$ について
    - $E (a ⌉ \emptyset) = E a \cap \emptyset = \emptyset$
  - であるので、 $(a ⌉ \emptyset) \in F (\emptyset)$
$r_{U U}$ は恒等写像か?
- 明らか
$r_{U W} = r_{U V} \circ r_{V W}$
- $r_{V W} : F (W) \to F (V)$
- $r_{U V} : F (V) \to F (U)$
- $f \in F (W) = {f : E f = W}$ について
  - $r_{V W} (f) = f ⌉ V$
  - $(r_{U V} \circ r_{V W} (f) = (f ⌉ V) ⌉ U = f ⌉ (V \cap U) = f ⌉ U = r_{U V} (f)$

というわけでok.

定義2 → 定義1

逆に前層が

(F, r)

で与えられたとき、先ほどの全く逆によって構成できる.

$A = ⋃_{U \in O (X)} F (U)$
$f \in F (U) ⟺ E f = U$
$f ⌉ U = r_{V W} (f)$
- where $V = U \cap W, W = E f$

要請を満たすことを確認する.

$a, b \in A$ について
- $a ⌉ \emptyset = r_{V W} (a)$
  - ここで $V = \emptyset, W = E f = U_{a}$ で
    - $r_{V W} : F (W) \to F (V)$
    - $F (V)$ は単集合であるので、 $r_{V W}$ は一点に写す関数
  - 従って $r_{V W} (a) = r_{V W^{'}} (b)$
- よって $a ⌉ \emptyset = b ⌉ \emptyset$
$f ⌉ (E f) = r_{V W} f$
- ただし $V = E f \cap W, W = E f$
- なので $V = W$ なんで $r_{V W}$ は恒等写像
- というわけで、 $f ⌉ (E f) = f$
$f ⌉ U = r_{V W} (f) \in F (V)$
- ここで $V = U \cap E f$
- $E (f ⌉ U) = V = U \cap E f$
$(f ⌉ U) ⌉ V = f ⌉ (U \cap V)$
- 大体同様に

ところでしかし、この定義1と2とが本当に対応してるかを見るには、定義1の前層を定義2に(上の方法で)した後、再び(上の方法で)定義1に戻して得た前層が、元の前層と同じ (あるいは同型) であることを確かめないといけない.

両立 (compatible)

前層 $A$ の2つの元 $f, g \in A$ が両立するとは、

f ⌉ E g = g ⌉ E f

とあること.

関数集合の例でいうと、定義域の交わる部分で関数の値が一致することを表す.

層 (sheaf)

やはり二通りの定義を与える.

定義1

$X$ の上の前層 $A$ が次を満たすとき、 $A$ を $X$ の上の層と呼ぶ.

$\forall f, g \in F$ が両立するような $F \subset A$ に対して、次の2つを成立させる $g$ が唯一つ存在すること
1. $\forall f \in F, g ⌉ E f = f$
2. $E g = ⋃_{f \in F} E f$
  - このような $g$ を $F$ に対して $\cup F$ と書く

例

前に述べた関数の例は層である

定義2

定義1と同値な定義を与える.

位相空間 $X$ に対して位相空間 $S$ と局所同相写像 $p : S \to X$ があるとき、 $(S, p)$ を $X$ の上の層という.

ここで $p : S \to X$ が局所同相写像とは、任意の点 $s \in S$ に対して、定義域を $s$ を含むように適切に小さく制限して得た写像 $p ⌈ U$ が同相写像であること.

定義1 → 定義2

層 $A$ が与えられた時、

\tilde{S} = {(x, f) : f \in A, x \in E f}

$\tilde{S}$ の上の同値関係

(x_{1}, f_{1}) \equiv (x_{2}, f_{2}) ⟺ x_{1} = x_{2} \land \exists U (x \in U), U \subseteq E f_{1} \cap E f_{2} \land f_{1} ⌉ U = f_{2} ⌉ U

で割って

S = \tilde{S} \equiv

とする. 同値関係で明らかに $x$ については1つに定まるので

p : S \to X

p (x, f) = x

という関数が定まる.

$S$ に位相を入れる. $x \in X$ の近傍を $V_{x}$ とするとき $(x, f)$ の近傍を

{(y, f) / \equiv : y \in V_{x}}

と定める. これによって位相を入れる ( 近傍によって位相を入れる参照).

以上の $(S, p)$ が層 $A$ に対応する定義2の形の層である.

定義2 → 定義1

$X$ 上の層 $(S, p)$ から $(A, E, ⌉)$ の形の層を次のようにして構成できる.

$U \in O (X)$ について

Γ (U) = {f : f : U \to S, p \circ f = i}

として

$A = ⋃ Γ (U)$
$E f = U ⟺ f \in Γ (U)$
$f ⌉ V = f ⌈ (V \cap E f)$
- 右辺は単なる関数の制限

定義2 であっても前層でかつ定義1の層と一致することがわかる.

ここで $Γ$ の定義で出てくる $i$ は $U \to X$ の埋め込みである. $Γ (U)$ の要素は $p$ に対する $U$ 上の切断のこと. 以下のような可換図式が成り立つ.