代数 - 作用

参考

集合 \(M\) が集合 \(X\) 上の作用であるとは, 各元 \(m \in M\) が写像 \(X \to X\) として機能すること.

作用を \(\ast\) で表すことにする. \(m \in M, x \in X\) に対して,

\(x \ast m \in X\)
- \((\ast m) \colon X \to X\) という写像を定める
- \(m\) を右から掛けているので 右作用 という
\(m \ast x \in X\)
- \((m \ast) \colon X \to X\) という写像を定める
- \(m\) を左から掛けているので 左作用 という

作用を定義するときに右から作用させるか左から作用させるかを決める.

以下の実装ではこの写像を act(&Self, X) -> X で定義する.

/// Algebra - Act
pub trait Act<X> {
    fn act(&self, x: X) -> X;
}

\(M\) が \(X\) 上の作用であり, かつモノイドであるときこれを モノイド作用 と呼ぶ. すなわち \(M\) に関する演算 ( \(\times\) ) と作用 ( \(\ast\) ) が次を満たす.

\(x \ast 1 = x\)
- 単位元の作用は恒等写像
\(x \ast (m_1 \times m_2) = (x \ast m_1) \ast m_2\)
- 演算 ( \(\times\) ) が作用の合成である

ここで右作用として書いたが, 左作用でも全く同様. 合成の適用順が変わるのだけ注意.

\(M\) が \(X\) 上のモノイド作用であり, かつ \(X\) 自体もモノイド \((X, \cdot, e)\) であるとき, \(X\) を指して モノイド作用付きのモノイド と呼ぶ.

ただし次の準同型を要請する.